Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para a compra, entre elas as da empresa R e as da empresa S. Se ele decidir escolher 7 empresas, mas obrigatoriamente as empresas R e S devem estar entre as escolhidas, de quantas formas ele pode fazer essa escolha?
Passo 1
O enunciado diz que há
empresas disponíveis e que o administrador vai escolher
delas. Entre essas
estão as empresas
e
. A condição obrigatória é que
e
estejam entre as
escolhidas. A pergunta é: de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha?
Passo 2
Vamos entender o que a condição “obrigatoriamente
e
devem estar entre as escolhidas” implica na contagem. Se
e
já estão garantidas na seleção, então delas já temos
das
escolhidas. Restam, portanto,
vagas a preencher com empresas diferentes das restantes. Como havia
empresas no total e já fixamos
e
, sobram
empresas disponíveis para preencher essas
vagas. Logo, o problema reduz-se a: escolher
empresas dentre
.
Passo 3
Agora vamos ao conceito que usamos: quando queremos escolher
elementos de um conjunto com
elementos e a ordem não importa (só importa quais são escolhidos, não a sequência), o número de maneiras é dado pela combinação
. A fórmula é:
Aqui
(fatorial de
) é o produto
. Exemplo rápido:
. A ideia é que a fórmula divide o número total de permutações pelo fato de que a ordem entre os escolhidos não importa.
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao nosso caso com
e
. Assim precisamos calcular:
Passo 5
Vamos simplificar essa fração passo a passo. Escrevendo
como
temos:
Como
, segue:
Passo 6
Cheque rápido por simetria:
(porque escolher
para entrar é equivalente a escolher
para ficar de fora). Calculando
, confirma o resultado anterior.
Passo 7
Então há
seleções possíveis que obedecem à condição de incluir
e
. Vai dar tudo certo na prova — lembra dessa estratégia: quando alguns elementos são obrigatórios, fixa-os e conta o que falta escolher. Boa sorte, você segura isso!