Um administrador de um fundo de ações dispõe de ações de 10 empresas para a compra, entre elas as da empresa R e as da empresa S. Se ele decidir escolher 7 empresas, mas obrigatoriamente as empresas R e S devem estar entre as escolhidas, de quantas formas ele pode fazer essa escolha?

Passo 1

O enunciado diz que há 10 empresas disponíveis e que o administrador vai escolher 7 delas. Entre essas 10 estão as empresas R e S. A condição obrigatória é que R e S estejam entre as 7 escolhidas. A pergunta é: de quantas formas diferentes ele pode fazer essa escolha?

Passo 2

Vamos entender o que a condição “obrigatoriamente R e S devem estar entre as escolhidas” implica na contagem. Se R e S já estão garantidas na seleção, então delas já temos 2 das 7 escolhidas. Restam, portanto, 7-2=5 vagas a preencher com empresas diferentes das restantes. Como havia 10 empresas no total e já fixamos R e S, sobram 10-2=8 empresas disponíveis para preencher essas 5 vagas. Logo, o problema reduz-se a: escolher 5 empresas dentre 8.

Passo 3

Agora vamos ao conceito que usamos: quando queremos escolher k elementos de um conjunto com n elementos e a ordem não importa (só importa quais são escolhidos, não a sequência), o número de maneiras é dado pela combinação \binom{n}{k}. A fórmula é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui n! (fatorial de n) é o produto n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1. Exemplo rápido: 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24. A ideia é que a fórmula divide o número total de permutações pelo fato de que a ordem entre os escolhidos não importa.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao nosso caso com n=8 e k=5. Assim precisamos calcular:
\binom{8}{5}=\frac{8!}{5!3!}.

Passo 5

Vamos simplificar essa fração passo a passo. Escrevendo 8! como 8\cdot7\cdot6\cdot5! temos:
\binom{8}{5}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot3!}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3!}.
Como 3!=3\cdot2\cdot1=6, segue:
\binom{8}{5}=\frac{8\cdot7\cdot6}{6}=8\cdot7=56.

Passo 6

Cheque rápido por simetria: \binom{8}{5}=\binom{8}{3} (porque escolher 5 para entrar é equivalente a escolher 3 para ficar de fora). Calculando \binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56, confirma o resultado anterior.

Passo 7

Então há 56 seleções possíveis que obedecem à condição de incluir R e S. Vai dar tudo certo na prova — lembra dessa estratégia: quando alguns elementos são obrigatórios, fixa-os e conta o que falta escolher. Boa sorte, você segura isso!

Resposta

56

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