Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados utilizando os dígitos \{1,2,3,4,5\} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados utilizando os dígitos \{1,2,3,4,5\}?”\n
Informações dadas e condições importantes:\n
  • Os dígitos disponíveis são \{1,2,3,4,5\}.\n
  • Cada número tem exatamente 3 algarismos.\n
  • Os algarismos devem ser distintos (não há repetição de dígitos dentro do mesmo número).\n
  • Não há o dígito 0 entre os disponíveis, então qualquer um dos cinco pode ser o primeiro algarismo sem restrição.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicadinho): quando montamos algo em etapas sequenciais e cada etapa tem um certo número de escolhas possíveis, o total de formas é o produto do número de escolhas em cada etapa. Isto é o chamado “princípio multiplicativo”. Por exemplo, se eu tenho 2 opções para a primeira escolha e 3 opções para a segunda escolha (independentes), então no total tenho 2\cdot3=6 combinações possíveis. Aqui as etapas são: escolher o 1.º algarismo, depois o 2.º, depois o 3.º.

Passo 3

Aplicando o princípio multiplicativo ao problema:\n
  • Para o primeiro algarismo temos 5 escolhas (qualquer um de \{1,2,3,4,5\}).\n
  • Depois de escolher o primeiro, não podemos repetir, então restam 4 escolhas para o segundo algarismo.\n
  • Depois de escolher o segundo, restam 3 escolhas para o terceiro algarismo.\n
    Portanto o número total de números formados é
5\cdot 4\cdot 3.

Passo 4

Calculemos o produto passo a passo (pra você poder fazer na prova sem calculadora):
5\cdot 4 = 20,
20\cdot 3 = 60.
Logo o total é 60 .

Passo 5

Uma explicação alternativa, equivalente, usando a notação de permutações (só para fixar o conceito):\n
A permutação P(n,k) representa o número de formas de escolher e ordenar k elementos distintos a partir de um conjunto de n elementos, e vale
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.\n
Aqui n=5 e k=3, então
P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}=5\cdot4\cdot3=60,
o mesmo resultado obtido antes. A vantagem dessa visão é que ela mostra que estamos contando arranjos ordenados de 3 dígitos tirados de 5.

Passo 6

Pequena verificação mental (ajuda na prova): se eu fixo o primeiro algarismo (por exemplo, 1 ), para os outros dois algarismos há 4\cdot3=12 números possíveis começando por 1 . Como posso escolher o primeiro algarismo de 5 maneiras diferentes, o total é 5\cdot12=60. Isso bate com os cálculos anteriores — bom sinal!

Resposta

60

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