Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados utilizando os dígitos
?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados utilizando os dígitos
?”\n
Informações dadas e condições importantes:\n
Informações dadas e condições importantes:\n
- Os dígitos disponíveis são
.\n - Cada número tem exatamente 3 algarismos.\n
- Os algarismos devem ser distintos (não há repetição de dígitos dentro do mesmo número).\n
- Não há o dígito
entre os disponíveis, então qualquer um dos cinco pode ser o primeiro algarismo sem restrição.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicadinho): quando montamos algo em etapas sequenciais e cada etapa tem um certo número de escolhas possíveis, o total de formas é o produto do número de escolhas em cada etapa. Isto é o chamado “princípio multiplicativo”. Por exemplo, se eu tenho
opções para a primeira escolha e
opções para a segunda escolha (independentes), então no total tenho
combinações possíveis. Aqui as etapas são: escolher o 1.º algarismo, depois o 2.º, depois o 3.º.
Passo 3
Aplicando o princípio multiplicativo ao problema:\n
- Para o primeiro algarismo temos
5 escolhas (qualquer um de ).\n - Depois de escolher o primeiro, não podemos repetir, então restam
4 escolhas para o segundo algarismo.\n - Depois de escolher o segundo, restam
3 escolhas para o terceiro algarismo.\n
Portanto o número total de números formados é
Passo 4
Calculemos o produto passo a passo (pra você poder fazer na prova sem calculadora):
Logo o total é
60
.
Passo 5
Uma explicação alternativa, equivalente, usando a notação de permutações (só para fixar o conceito):\n
A permutação representa o número de formas de escolher e ordenar
elementos distintos a partir de um conjunto de
elementos, e vale
A permutação
onde
(fatorial de
) é
.\n
Aqui e
, então
Aqui
o mesmo resultado obtido antes. A vantagem dessa visão é que ela mostra que estamos contando arranjos ordenados de
dígitos tirados de
.
Passo 6
Pequena verificação mental (ajuda na prova): se eu fixo o primeiro algarismo (por exemplo,
1
), para os outros dois algarismos há
números possíveis começando por
1
. Como posso escolher o primeiro algarismo de
maneiras diferentes, o total é
. Isso bate com os cálculos anteriores — bom sinal!