Em uma turma de 30 alunos, 3 serão escolhidos para representar a classe em um evento. De quantas maneiras diferentes esse grupo de 3 alunos pode ser formado?

Passo 1

O enunciado: em uma turma de 30 alunos, serão escolhidos 3 para representar a classe em um evento. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes esse grupo de 3 alunos pode ser formado?
Informações dadas:
\n
  • Tamanho da turma: 30.
  • Número de pessoas a escolher: 3.
  • Não foi indicado que a ordem importa (ou seja, um grupo é o mesmo independentemente da ordem dos 3 escolhidos).
    \n
    O que se pede: o número de maneiras diferentes (combinações) de escolher um subconjunto de 3 alunos dentre 30.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): quando queremos escolher k elementos de um conjunto de n sem que a ordem importe, usamos a combinação, representada por \binom{n}{k}. A fórmula é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui, n! (lê-se “ n fatorial”) significa o produto dos inteiros positivos de 1 até n:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot2\cdot1.
Exemplo pequeno para fixar: escolher 2 de 4 (sem ordem) dá
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(2\cdot1)}=\frac{4\cdot3}{2}=6,
que corresponde às 6 duplas distintas possíveis. Isso ajuda a entender a ideia: contamos todas as sequências possíveis e dividimos pelas permutações internas que não interessam.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: n=30 e k=3. Então
\binom{30}{3}=\frac{30!}{3!(30-3)!}=\frac{30!}{3!27!}.
Agora vamos simplificar a fração cancelando o 27! que aparece no numerador e denominador. Ao cancelar, sobra no numerador apenas os fatores 30\cdot29\cdot28, e no denominador 3\cdot2\cdot1. Portanto
\binom{30}{3}=\frac{30\cdot29\cdot28}{3\cdot2\cdot1}.

Passo 4

Fazendo as contas de forma clara e amigável:
\n
Primeira forma (multiplicar depois dividir):
30\cdot29=870,
870\cdot28=24360,
3\cdot2\cdot1=6,
\frac{24360}{6}=4060.
Segunda forma (simplificar antes para agilizar na prova): dividir alguns fatores antes de multiplicar:
\n
\frac{30}{3}=10,\qquad \frac{28}{2}=14,
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\frac{30\cdot29\cdot28}{3\cdot2\cdot1}=10\cdot29\cdot14.
Calcule 29\cdot14=406 e então 10\cdot406=4060. Mesma resposta, menos risco de multiplicações grandes na cabeça.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova: o número 4060 significa que existem 4060 grupos distintos de 3 alunos que podem ser formados, independentemente da ordem. Na prova, lembre-se do atalho: sempre transforme o quociente de fatoriais em um produto pequeno (como 30\cdot29\cdot28/(3\cdot2\cdot1)) e simplifique antes de multiplicar — isso evita contas grandes e erros.

Resposta

\,4060

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