Em uma turma de 30 alunos, 3 serão escolhidos para representar a classe em um evento. De quantas maneiras diferentes esse grupo de 3 alunos pode ser formado?
Passo 1
O enunciado: em uma turma de
alunos, serão escolhidos
para representar a classe em um evento. A pergunta é: de quantas maneiras diferentes esse grupo de
alunos pode ser formado?
Informações dadas:
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- Tamanho da turma:
. - Número de pessoas a escolher:
. - Não foi indicado que a ordem importa (ou seja, um grupo é o mesmo independentemente da ordem dos 3 escolhidos).
\n
O que se pede: o número de maneiras diferentes (combinações) de escolher um subconjunto dealunos dentre .
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): quando queremos escolher
elementos de um conjunto de
sem que a ordem importe, usamos a combinação, representada por
. A fórmula é:
Aqui,
(lê-se “
fatorial”) significa o produto dos inteiros positivos de
até
:
Exemplo pequeno para fixar: escolher
de
(sem ordem) dá
que corresponde às 6 duplas distintas possíveis. Isso ajuda a entender a ideia: contamos todas as sequências possíveis e dividimos pelas permutações internas que não interessam.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
e
. Então
Agora vamos simplificar a fração cancelando o
que aparece no numerador e denominador. Ao cancelar, sobra no numerador apenas os fatores
, e no denominador
. Portanto
Passo 4
Fazendo as contas de forma clara e amigável:
\n
Primeira forma (multiplicar depois dividir):
\n
Primeira forma (multiplicar depois dividir):
Segunda forma (simplificar antes para agilizar na prova): dividir alguns fatores antes de multiplicar:
\n
\n
logo
Calcule
e então
. Mesma resposta, menos risco de multiplicações grandes na cabeça.
Passo 5
Interpretação final e dica de prova: o número
significa que existem
grupos distintos de
alunos que podem ser formados, independentemente da ordem. Na prova, lembre-se do atalho: sempre transforme o quociente de fatoriais em um produto pequeno (como
) e simplifique antes de multiplicar — isso evita contas grandes e erros.