Admita que cada elemento de uma população pode ser modelado por uma variável aleatória X com média \mu e variância \sigma^{2}. Com objetivo de estimar o parámetro \mu foi coletada uma amostra, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, isto é, elementos independentes e identicamente distribuídos com E\left(X_{i}\right)=\mu e \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\sigma^{2}, nessa amostra foi usado o estimador \hat{\mu}=\frac{1}{n-3} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, n \geq 4.
(a) Verifique se o estimador \hat{\mu} é viesado calculando B(\hat{\mu})=E(\hat{\mu})-\mu, o viés de \hat{\mu}.
(b) Calcule \operatorname{Var}(\hat{\mu}), a variância do estimador \hat{\mu}.
(c) Calcule E Q M(\hat{\mu}), Erro Quadrático Médio de \hat{\mu}.
Entre \hat{\mu} e \bar{X}, segundo o critério E Q M, qual dos dois estimadores é melhor para estimar \mu ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
  • Informações fornecidas:
    • X_{1},X_{2},\dots,X_{n} são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com E(X_{i})=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X_{i})=\sigma^{2},e n\ge 4.
    • Foi usado o estimador \hat{\mu}=\frac{1}{\,n-3\,}\sum_{i=1}^{n} X_{i}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular o viés B(\hat{\mu})=E(\hat{\mu})-\mu.
    (b) Calcular \operatorname{Var}(\hat{\mu}).
    (c) Calcular o erro quadrático médio E Q M(\hat{\mu}) (a mesma coisa que \operatorname{MSE}(\hat{\mu})).
    • Além disso, comparar \hat{\mu} com a média amostral \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} segundo o critério do E Q M e dizer qual é melhor.

Passo 2

Relacionando \hat{\mu} com a média amostral \bar{X} (isso facilita cálculos).
  • Definição da média amostral: \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}.
  • Note que \hat{\mu}=\frac{1}{\,n-3\,}\sum_{i=1}^{n} X_{i}=\frac{n}{\,n-3\,}\cdot\bar{X}.Essa expressão é útil porque conhecemos propriedades de E(\bar{X}) e \operatorname{Var}(\bar{X}), e as propriedades de esperança e variância são fáceis de aplicar quando multiplicamos por constantes.

Passo 3

Cálculo da esperança e do viés B(\hat{\mu}).
  • Teoria necessária (mini-aula): linearidade da esperança.
    • Para qualquer constante a e qualquer variável aleatória Y, vale E(aY)=a\,E(Y).
    • Para soma de variáveis, E\Big(\sum Y_i\Big)=\sum E(Y_i).
    • Para a média amostral \bar{X}, temos E(\bar{X})=\mu (porque é a média de variáveis com esperança \mu).
  • Aplicando ao nosso caso: E(\hat{\mu})=E\!\left(\frac{n}{\,n-3\,}\bar{X}\right)=\frac{n}{\,n-3\,}E(\bar{X})=\frac{n}{\,n-3\,}\mu.
  • Então o viés é B(\hat{\mu})=E(\hat{\mu})-\mu=\left(\frac{n}{\,n-3\,}-1\right)\mu=\frac{3}{\,n-3\,}\mu.
  • Interpretação: o estimador \hat{\mu} é viesado, com viés proporcional a \mu. O viés tende a zero quando n\to\infty, mas para n finito (e n\ge 4) é diferente de zero.

Passo 4

Cálculo da variância \operatorname{Var}(\hat{\mu}).
  • Teoria necessária (mini-aula): variância de constantes e soma de variáveis independentes.
    • Para constante a e variável Y, \operatorname{Var}(aY)=a^{2}\operatorname{Var}(Y).
    • Para variáveis independentes Y_{1},\dots,Y_{n}, \operatorname{Var}\Big(\sum Y_i\Big)=\sum \operatorname{Var}(Y_i).
    • Para a média amostral \bar{X} de n i.i.d. com variância \sigma^{2}, tem-se \operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^{2}/n.
  • Aplicando ao nosso caso usando \hat{\mu}=\dfrac{n}{n-3}\bar{X}: \operatorname{Var}(\hat{\mu})=\left(\frac{n}{\,n-3\,}\right)^{2}\operatorname{Var}(\bar{X}) =\left(\frac{n}{\,n-3\,}\right)^{2}\cdot\frac{\sigma^{2}}{n} =\frac{n\,\sigma^{2}}{(n-3)^{2}}.
  • Alternativamente, aplicando direto \operatorname{Var}\big(\sum X_i\big)=n\sigma^{2} e multiplicando por 1/(n-3)^{2} dá o mesmo resultado.

Passo 5

Cálculo do erro quadrático médio E Q M(\hat{\mu}) (MSE) e explicação.
  • Teoria necessária (mini-aula): relação MSE = variância + quadrado do viés.
    • Por definição, \operatorname{MSE}(\hat{\theta})=E\big[(\hat{\theta}-\theta)^{2}\big].
    • Pode-se decompor como \operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{Var}(\hat{\theta})+[\,\text{Bias}(\hat{\theta})\,]^{2}.
  • Usando os resultados dos passos anteriores: \operatorname{MSE}(\hat{\mu})=\operatorname{Var}(\hat{\mu})+\big(B(\hat{\mu})\big)^{2} =\frac{n\,\sigma^{2}}{(n-3)^{2}}+\left(\frac{3\mu}{\,n-3\,}\right)^{2}.
  • Colocando em fator comum (n-3)^{-2}: \operatorname{MSE}(\hat{\mu})=\frac{n\,\sigma^{2}+9\mu^{2}}{(n-3)^{2}}.

Passo 6

Comparação entre \hat{\mu} e \bar{X} pelo critério do E Q M.
  • Primeiro calculemos \operatorname{MSE}(\bar{X}).
    • A média amostral \bar{X} é não viesada, então B(\bar{X})=0.
    • \operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^{2}/n.
    • Assim, \operatorname{MSE}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
  • Agora comparamos \operatorname{MSE}(\hat{\mu})=\dfrac{n\sigma^{2}+9\mu^{2}}{(n-3)^{2}} com \operatorname{MSE}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}.
    • Queremos ver se existe n\ge 4 e \mu,\sigma^{2} tais que \operatorname{MSE}(\hat{\mu})<\operatorname{MSE}(\bar{X}).
    • Compare multiplicando ambos os lados por n(n-3)^{2}>0: n^{2}\sigma^{2}+9n\mu^{2} \stackrel{?}{<} (n-3)^{2}\sigma^{2}.
    • Rearranjando os termos que envolvem \sigma^{2}: 9n\mu^{2} \stackrel{?}{<} \big[(n-3)^{2}-n^{2}\big]\sigma^{2}.
    • Calcule a diferença: (n-3)^{2}-n^{2}=n^{2}-6n+9-n^{2}=9-6n.Para n\ge 4 temos 9-6n\le 9-24=-15<0. Portanto o lado direito é (9-6n)\sigma^{2}, um número não positivo.
    • O lado esquerdo 9n\mu^{2} é não negativo (é zero apenas se \mu=0). Assim, a desigualdade 9n\mu^{2} < (9-6n)\sigma^{2}não pode ocorrer para n\ge 4 (pois esquerda \ge 0 e direita <0), exceto que ambas partes fossem zero simultaneamente — o que não acontece para n\ge4 salvo caso trivial irrelevante.
  • Conclusão prática:
    • Para todo n\ge 4 e quaisquer \mu,\sigma^{2} com \sigma^{2}>0, tem-se \operatorname{MSE}(\hat{\mu})>\operatorname{MSE}(\bar{X}).
    • Intuição: \hat{\mu} tem um viés não nulo e sua variância é inflada pelo fator \big(\dfrac{n}{n-3}\big)^{2}, de modo que, somando variância + viés², o erro quadrático médio fica sempre maior que o da média amostral.

Resposta

B(\hat{\mu})=\dfrac{3\mu}{\,n-3\,}.
\operatorname{Var}(\hat{\mu})=\dfrac{n\,\sigma^{2}}{(n-3)^{2}}.
\operatorname{MSE}(\hat{\mu})=\dfrac{n\,\sigma^{2}+9\mu^{2}}{(n-3)^{2}}.
Segundo o critério do E Q M, \bar{X} é melhor que \hat{\mu} para todo n\ge 4.

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