Admita que cada elemento de uma população pode ser modelado por uma variável aleatória
com média
e variância
. Com objetivo de estimar o parámetro
foi coletada uma amostra,
, isto é, elementos independentes e identicamente distribuídos com
e
, nessa amostra foi usado o estimador
.
(a) Verifique se o estimador
é viesado calculando
, o viés de
.
(b) Calcule
, a variância do estimador
.
(c) Calcule
, Erro Quadrático Médio de
.
Entre
e
, segundo o critério
, qual dos dois estimadores é melhor para estimar
?
(a) Verifique se o estimador
(b) Calcule
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
-
Informações fornecidas:
-
são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com e . - Foi usado o estimador
-
-
O que o enunciado pede:
(a) Calcular o viés.
(b) Calcular.
(c) Calcular o erro quadrático médio(a mesma coisa que ). - Além disso, comparar
com a média amostral segundo o critério do e dizer qual é melhor.
- Além disso, comparar
Passo 2
Relacionando
com a média amostral
(isso facilita cálculos).
- Definição da média amostral:
- Note que
Essa expressão é útil porque conhecemos propriedades de e , e as propriedades de esperança e variância são fáceis de aplicar quando multiplicamos por constantes.
Passo 3
Cálculo da esperança e do viés
.
- Teoria necessária (mini-aula): linearidade da esperança.
- Para qualquer constante
e qualquer variável aleatória , vale . - Para soma de variáveis,
. - Para a média amostral
, temos (porque é a média de variáveis com esperança ).
- Para qualquer constante
- Aplicando ao nosso caso:
- Então o viés é
- Interpretação: o estimador
é viesado, com viés proporcional a . O viés tende a zero quando , mas para finito (e ) é diferente de zero.
Passo 4
Cálculo da variância
.
- Teoria necessária (mini-aula): variância de constantes e soma de variáveis independentes.
- Para constante
e variável , . - Para variáveis independentes
, . - Para a média amostral
de i.i.d. com variância , tem-se .
- Para constante
- Aplicando ao nosso caso usando
: - Alternativamente, aplicando direto
e multiplicando por dá o mesmo resultado.
Passo 5
Cálculo do erro quadrático médio
(MSE) e explicação.
- Teoria necessária (mini-aula): relação MSE = variância + quadrado do viés.
- Por definição,
. - Pode-se decompor como
.
- Por definição,
- Usando os resultados dos passos anteriores:
- Colocando em fator comum
:
Passo 6
Comparação entre
e
pelo critério do
.
- Primeiro calculemos
. - A média amostral
é não viesada, então . -
. - Assim,
- A média amostral
- Agora comparamos
com . - Queremos ver se existe
e tais que . - Compare multiplicando ambos os lados por
: - Rearranjando os termos que envolvem
: - Calcule a diferença:
Para temos . Portanto o lado direito é , um número não positivo. - O lado esquerdo
é não negativo (é zero apenas se ). Assim, a desigualdade não pode ocorrer para (pois esquerda e direita ), exceto que ambas partes fossem zero simultaneamente — o que não acontece para salvo caso trivial irrelevante.
- Queremos ver se existe
- Conclusão prática:
- Para todo
e quaisquer com , tem-se - Intuição:
tem um viés não nulo e sua variância é inflada pelo fator , de modo que, somando variância + viés², o erro quadrático médio fica sempre maior que o da média amostral.
- Para todo
Resposta
Segundo o critério do