Em uma empresa foi formada uma equipe de vendas com 15 vendedores, onde cada um fol submetido a um teste especialmente concebido para prever seu desempenho futuro. Denote por
o resultado do teste. Um ano depois de contratados, o desempenho de cada vendedor foi medido, observando-se a variável
, que representa o volume de vendas médio mensal. Os dados estão na tabela a seguir:
1
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4
5
6
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8
9
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15
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29
29
35
35
38
42
44
44
45
46
46
49
54
57
611
26.359
2
4
4
4
6
4
7
7
8
5
8
8
7
8
9
91
613
(a) Construa um box-plot da variável
, e discuta sobre a presença de dados discrepantes.
(b) Calcule a média e a variância amostrais de
e de
.
(c) Analise e justifique, à luz dos dados informados, se
é um bom preditor para
. Use:
.
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
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18 | 29 | 29 | 35 | 35 | 38 | 42 | 44 | 44 | 45 | 46 | 46 | 49 | 54 | 57 | 611 | 26.359 |
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2 | 4 | 4 | 4 | 6 | 4 | 7 | 7 | 8 | 5 | 8 | 8 | 7 | 8 | 9 | 91 | 613 |
(b) Calcule a média e a variância amostrais de
(c) Analise e justifique, à luz dos dados informados, se
Passo 1
O enunciado apresenta uma amostra de
vendedores com duas variáveis observadas para cada um:
Os dados fornecidos (já ordenados em
) são:
Também foram informados os somatórios:
E foi fornecido:
O enunciado pede: (a) construir e discutir um box-plot de
e decidir sobre dados discrepantes; (b) calcular média amostral e variância amostral de
e de
; (c) analisar se
é um bom preditor para
, com justificativa usando os dados.
Passo 2
Vamos construir o box-plot de
. Primeiro preciso dos quantis básicos: mediana, primeiro quartil
e terceiro quartil
. Como
(ímpar), a mediana é o elemento central, o
-ésimo, isto é, o
º valor.
O 8º valor de (da lista ordenada acima) é
. Logo a mediana é
O 8º valor de
Para
(mediana da metade inferior) tomamos os primeiros 7 valores
; como são 7 (ímpar),
é o 4º desses valores, isto é
. Portanto
Para
tomamos os últimos 7 valores
; o elemento central desses 7 é o 4º, isto é
. Portanto
Passo 3
Calculo do IQR (intervalo interquartílico) e das fronteiras para detectar outliers. Definições que vamos usar (explico por que):
-
mede a dispersão central dos dos dados. - Limites para identificar observações discrepantes (outliers) são:
Cálculos:
Agora comparo os valores extremos de
com esses limites: o menor valor é
e o maior é
.
-
, logo está abaixo do limite inferior e é considerado um outlier (observação discrepante) segundo a regra do box-plot. -
, logo não é outlier.
Não temos valores abaixo denem acima de , portanto há exatamente um outlier (o ) e nenhum outlier alto.
Passo 4
Como desenhar o box-plot (descrição prática para a prova):
- A caixa (box) vai de
até . - A linha dentro da caixa marca a mediana
. - As “whiskers” (bigodes) se estendem até o menor e maior valores que não sejam outliers: o menor valor ≥ limite inferior é
(pegamos o menor valor que não é outlier; notei isso vendo os dados), então whisker inferior vai até . O whisker superior vai até o máximo não outlier que é . - O ponto
deve ser desenhado como um símbolo isolado (ponto) indicando outlier.
Resumo gráfico (valores-chave):
Passo 5
Agora calculo média amostral e explico a fórmula. Para uma amostra
, a média amostral é
Para
temos
e
, então
Para
temos
, então
Passo 6
Cálculo da variância amostral e explicação da fórmula. A variância amostral (estimador usual não-viesado) é
Uma forma prática de calcular sem computar cada
é usar a identidade
Então
Vou aplicar essa fórmula para
e para
.
Passo 7
Cálculos para
:
Agora dividimos por
:
Arredondando razoavelmente, podemos escrever
(Se preferir a raiz, o desvio padrão amostral é
.)
Passo 8
Cálculos para
:
Dividindo por
:
Arredondando:
(e o desvio padrão amostral é
.)
Passo 9
Agora respondo à parte (c): verificar se
é um bom preditor de
. Uma medida padrão é o coeficiente de correlação de Pearson
. Explico as fórmulas que vou usar:
-
é a soma cruzada centrada. -
e . - O coeficiente
é
- Além disso, a regressão linear simples (mínimos quadrados) de
sobre tem coeficiente angular
e intercepto
O
(coeficiente de determinação) indica a fração da variação de
explicada pela reta em
.
Passo 10
Calculo de
usando os somatórios dados.
Cálculo intermediário:
e
. Assim
Para trabalhar com números mais legíveis, observe que
(fração exata) e numericamente
(Explicação: o somatório dado
é na verdade
conforme enunciado; mantive a vírgula decimal como separador de milhares no somatório original — usei
.)
Continuando:
Passo 11
Cálculo numérico de
,
,
e
.
Primeiro
:
Avaliação numérica:
Logo
Portanto há uma correlação linear positiva forte entre
e
.
Agora a reta de regressão
sobre
:
Assim a equação ajustada (aproximada) é
O coeficiente de determinação:
ou seja, cerca de
da variabilidade de
é explicada por uma relação linear com
neste ajuste.
Passo 12
Interpretação e justificativa final (tom amigável e prático para a prova):
- Temos uma correlação forte e positiva (
) entre o resultado do teste e o volume de vendas . Isso sugere que, na amostra, vendedores com maior tendem a ter maior. - A reta de regressão indica ganho médio de aproximadamente
unidades de por aumento de uma unidade em , com intercepto aproximado . - O
significa que cerca de da variação de é explicada pela variação linear em — isso é um bom nível de explicação para um preditor único. - Observação importante: existe um outlier em
(o valor ); outliers podem influenciar tanto o quanto os coeficientes da reta. Seria prudente, em análise prática, verificar o ajuste sem esse outlier para ver se a conclusão se mantém. Além disso, correlação não prova causalidade: pode ser um bom preditor, mas não garante que um aumento em cause aumento em .
Conclusão: com base nos números fornecidos,parece ser um bom preditor linear de , com forte correlação e alta fração de variância explicada.
Resposta
(a) Box-plot:
, mediana
,
,
; limites: inferior
, superior
. Há um outlier inferior:
. Whiskers: vão de
a
.
(b)
(c) Correlação e regressão: (forte positiva),
. Reta de regressão aproximada:
. Conclusão:
é, pelos dados, um bom preditor linear de
(com a ressalva do outlier
e da diferença entre correlação e causalidade).
(b)
(c) Correlação e regressão: