Em uma empresa foi formada uma equipe de vendas com 15 vendedores, onde cada um fol submetido a um teste especialmente concebido para prever seu desempenho futuro. Denote por T o resultado do teste. Um ano depois de contratados, o desempenho de cada vendedor foi medido, observando-se a variável V, que representa o volume de vendas médio mensal. Os dados estão na tabela a seguir:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 \sum x \sum x^{2}
V 18 29 29 35 35 38 42 44 44 45 46 46 49 54 57 611 26.359
T 2 4 4 4 6 4 7 7 8 5 8 8 7 8 9 91 613
(a) Construa um box-plot da variável V, e discuta sobre a presença de dados discrepantes.
(b) Calcule a média e a variância amostrais de V e de T.
(c) Analise e justifique, à luz dos dados informados, se T é um bom preditor para V. Use: \sum_{i=1}^{15} T_{i} V_{i}=3.973.

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de n=15 vendedores com duas variáveis observadas para cada um:
\text{V: volume de vendas médio mensal}é
\text{T: resultado do teste preditivo}
Os dados fornecidos (já ordenados em V) são:
V=\bigl(18,\,29,\,29,\,35,\,35,\,38,\,42,\,44,\,44,\,45,\,46,\,46,\,49,\,54,\,57\bigr)
T=\bigl(2,\,4,\,4,\,4,\,6,\,4,\,7,\,7,\,8,\,5,\,8,\,8,\,7,\,8,\,9\bigr)
Também foram informados os somatórios:
\sum V = 611,\quad \sum V^{2}=26.359
\sum T = 91,\quad \sum T^{2}=613
E foi fornecido:
\sum_{i=1}^{15} T_i V_i = 3.973
O enunciado pede: (a) construir e discutir um box-plot de V e decidir sobre dados discrepantes; (b) calcular média amostral e variância amostral de V e de T; (c) analisar se T é um bom preditor para V, com justificativa usando os dados.

Passo 2

Vamos construir o box-plot de V. Primeiro preciso dos quantis básicos: mediana, primeiro quartil Q_1 e terceiro quartil Q_3. Como n=15 (ímpar), a mediana é o elemento central, o \tfrac{n+1}{2}-ésimo, isto é, o 8º valor.
O 8º valor de V (da lista ordenada acima) é 44. Logo a mediana é
\text{mediana}(V)=44.
Para Q_1 (mediana da metade inferior) tomamos os primeiros 7 valores (18,29,29,35,35,38,42); como são 7 (ímpar), Q_1 é o 4º desses valores, isto é 35. Portanto
Q_1=35.
Para Q_3 tomamos os últimos 7 valores (44,45,46,46,49,54,57); o elemento central desses 7 é o 4º, isto é 46. Portanto
Q_3=46.

Passo 3

Calculo do IQR (intervalo interquartílico) e das fronteiras para detectar outliers. Definições que vamos usar (explico por que):
  • \text{IQR}=Q_3-Q_1 mede a dispersão central dos 50\% dos dados.
  • Limites para identificar observações discrepantes (outliers) são:
\text{limite inferior}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR},\qquad \text{limite superior}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}.
Cálculos:
\text{IQR}=46-35=11.
\text{limite inferior}=35-1{,}5\cdot 11=35-16{,}5=18{,}5.
\text{limite superior}=46+16{,}5=62{,}5.
Agora comparo os valores extremos de V com esses limites: o menor valor é 18 e o maior é 57.
  • 18<18{,}5, logo 18 está abaixo do limite inferior e é considerado um outlier (observação discrepante) segundo a regra do box-plot.
  • 57<62{,}5, logo 57 não é outlier.
    Não temos valores abaixo de 18 nem acima de 62{,}5, portanto há exatamente um outlier (o 18) e nenhum outlier alto.

Passo 4

Como desenhar o box-plot (descrição prática para a prova):
  • A caixa (box) vai de Q_1=35 até Q_3=46.
  • A linha dentro da caixa marca a mediana 44.
  • As “whiskers” (bigodes) se estendem até o menor e maior valores que não sejam outliers: o menor valor ≥ limite inferior é 29 (pegamos o menor valor que não é outlier; notei isso vendo os dados), então whisker inferior vai até 29. O whisker superior vai até o máximo não outlier que é 57.
  • O ponto 18 deve ser desenhado como um símbolo isolado (ponto) indicando outlier.
    Resumo gráfico (valores-chave):
Q_1=35,\quad \text{mediana}=44,\quad Q_3=46,\quad \text{IQR}=11,
\text{whiskers: }29\text{ (inferior)}\\ \text{a}\\\ 57\text{ (superior)},\quad \text{outlier: }18.

Passo 5

Agora calculo média amostral e explico a fórmula. Para uma amostra x_1,\dots,x_n, a média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Para V temos \sum V=611 e n=15, então
\bar{V}=\frac{611}{15}=40{,}733\overline{3}.
Para T temos \sum T=91, então
\bar{T}=\frac{91}{15}=6{,}066\overline{6}.

Passo 6

Cálculo da variância amostral e explicação da fórmula. A variância amostral (estimador usual não-viesado) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Uma forma prática de calcular sem computar cada x_i-\bar{x} é usar a identidade
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^{2}}{n}.
Então
s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^{2}-\frac{(\sum x_i)^{2}}{n}\right).
Vou aplicar essa fórmula para V e para T.

Passo 7

Cálculos para V:
\sum V^{2}=26.359,\qquad (\sum V)^{2}=611^{2}=373.321.
\sum V^{2}-\frac{(\sum V)^{2}}{n}=26.359-\frac{373.321}{15}=26.359-24.888{,}066\overline{6}=1.470{,}933\overline{3}.
Agora dividimos por n-1=14:
s_{V}^{2}=\frac{1{,}470{,}933\overline{3}}{14}=105{,}066\overline{6}.
Arredondando razoavelmente, podemos escrever
s_{V}^{2}\approx 105{,}067.
(Se preferir a raiz, o desvio padrão amostral é s_{V}\approx\sqrt{105{,}067}\approx 10{,}25.)

Passo 8

Cálculos para T:
\sum T^{2}=613,\qquad (\sum T)^{2}=91^{2}=8.281.
\sum T^{2}-\frac{(\sum T)^{2}}{n}=613-\frac{8.281}{15}=613-552{,}066\overline{6}=60{,}933\overline{3}.
Dividindo por n-1=14:
s_{T}^{2}=\frac{60{,}933\overline{3}}{14}=4{,}35238095\ldots
Arredondando:
s_{T}^{2}\approx 4{,}3524.
(e o desvio padrão amostral é s_{T}\approx\sqrt{4{,}3524}\approx 2{,}09.)

Passo 9

Agora respondo à parte (c): verificar se T é um bom preditor de V. Uma medida padrão é o coeficiente de correlação de Pearson r. Explico as fórmulas que vou usar:
  • S_{xy}=\sum T_iV_i - \dfrac{(\sum T_i)(\sum V_i)}{n} é a soma cruzada centrada.
  • S_{xx}=\sum T_i^{2} - \dfrac{(\sum T_i)^{2}}{n} e S_{yy}=\sum V_i^{2} - \dfrac{(\sum V_i)^{2}}{n}.
  • O coeficiente r é
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
  • Além disso, a regressão linear simples (mínimos quadrados) de V sobre T tem coeficiente angular
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},
e intercepto
\hat{\beta}_0=\bar{V}-\hat{\beta}_1\bar{T}.
O r^{2} (coeficiente de determinação) indica a fração da variação de V explicada pela reta em T.

Passo 10

Calculo de S_{xy},S_{xx},S_{yy} usando os somatórios dados.
S_{xy}=\sum T_iV_i-\frac{(\sum T)(\sum V)}{n}=3.973-\frac{91\cdot 611}{15}.
Cálculo intermediário: 91\cdot 611=55.601 e \dfrac{55.601}{15}=3.706{,}733\overline{3}. Assim
S_{xy}=3.973-3.706{,}733\overline{3}=0{,}266{,}266\overline{6}\\ \text{(em milhares? atenção: os somatórios já estão em unidades corretas)}.çãóáã
Para trabalhar com números mais legíveis, observe que S_{xy}=\dfrac{3.994}{15} (fração exata) e numericamente
S_{xy}=266{,}266\overline{6}\quad(\text{valor usado abaixo}).
(Explicação: o somatório dado 3.973 é na verdade 3973 conforme enunciado; mantive a vírgula decimal como separador de milhares no somatório original — usei 3973.)
Continuando:
S_{xx}=\sum T^{2}-\frac{(\sum T)^{2}}{n}=613-\frac{91^{2}}{15}=613-552{,}066\overline{6}=60{,}933\overline{3}.
S_{yy}=\sum V^{2}-\frac{(\sum V)^{2}}{n}=26.359-\frac{611^{2}}{15}=26.359-24.888{,}066\overline{6}=1.470{,}933\overline{3}.

Passo 11

Cálculo numérico de r, \hat{\beta}_1, \hat{\beta}_0 e r^{2}.
Primeiro r:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} =\frac{266{,}266\overline{6}}{\sqrt{60{,}933\overline{3}\times 1.470{,}933\overline{3}}}.
Avaliação numérica:
S_{xx}\,S_{yy}\approx 60{,}933333\times 1.4709333\approx 457{,}290158,
\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}\approx 21{,}387.
Logo
r\approx\frac{266{,}2667}{21{,}387}\approx 0{,}890\\ (\text{aprox. }0{,}89).
Portanto há uma correlação linear positiva forte entre T e V.
Agora a reta de regressão V sobre T:
\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{266{,}266\overline{6}}{60{,}933\overline{3}}=\frac{3.994/15}{914/15}=\frac{3.994}{914}\times \text{(escrevendo em forma exata)}\approx 4{,}372.
\hat{\beta}_0=\bar{V}-\hat{\beta}_1\bar{T}\approx 40{,}733\overline{3}-4{,}372\times 6{,}066\overline{6}\approx 14{,}223.
Assim a equação ajustada (aproximada) é
\widehat{V}=14{,}223+4{,}372\,T.
O coeficiente de determinação:
r^{2}\approx 0{,}89^{2}\approx 0{,}79,
ou seja, cerca de 79\% da variabilidade de V é explicada por uma relação linear com T neste ajuste.

Passo 12

Interpretação e justificativa final (tom amigável e prático para a prova):
  • Temos uma correlação forte e positiva ( r\approx 0{,}89) entre o resultado do teste T e o volume de vendas V. Isso sugere que, na amostra, vendedores com T maior tendem a ter V maior.
  • A reta de regressão indica ganho médio de aproximadamente 4{,}37 unidades de V por aumento de uma unidade em T, com intercepto aproximado 14{,}22.
  • O r^{2}\approx 0{,}79 significa que cerca de 79\% da variação de V é explicada pela variação linear em T — isso é um bom nível de explicação para um preditor único.
  • Observação importante: existe um outlier em V (o valor 18); outliers podem influenciar tanto o r quanto os coeficientes da reta. Seria prudente, em análise prática, verificar o ajuste sem esse outlier para ver se a conclusão se mantém. Além disso, correlação não prova causalidade: T pode ser um bom preditor, mas não garante que um aumento em T cause aumento em V.
    Conclusão: com base nos números fornecidos, T parece ser um bom preditor linear de V, com forte correlação e alta fração de variância explicada.

Resposta

(a) Box-plot: Q_1=35, mediana =44, Q_3=46, \text{IQR}=11; limites: inferior =18{,}5, superior =62{,}5. Há um outlier inferior: V=18. Whiskers: vão de 29 a 57.
(b) \bar{V}=\dfrac{611}{15}=40{,}733\overline{3},\quad s_{V}^{2}\approx 105{,}067.
\bar{T}=\dfrac{91}{15}=6{,}066\overline{6},\quad s_{T}^{2}\approx 4{,}3524.
(c) Correlação e regressão: r\approx 0{,}89 (forte positiva), r^{2}\approx 0{,}79. Reta de regressão aproximada: \widehat{V}=14{,}223+4{,}372\,T. Conclusão: T é, pelos dados, um bom preditor linear de V (com a ressalva do outlier V=18 e da diferença entre correlação e causalidade).

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