Durante a validação de um novo lote de fontes chaveadas para um sistema de automação industrial, o engenheiro responsável decidiu avaliar o consumo de corrente das unidades. De acordo com o fabricante, cada fonte deveria operar com corrente nominal em torno de 2,0 \mathrm{~A}. Foram realizadas 10 mediçōes independentes em condições idênticas e verificou-se se cada unidade mantinha a eficiência mínima de 85 \%.
Corrente (A) 1,92 2,08 1,95 2,02 2,15 1,97 1,90 2,05 2,11 1,94
(a) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média da corrente de operação das fontes. Admita que a corrente siga uma distribuição normal.
(b) O engenheiro deseja que, em futuras inspeçōes, o erro máximo de estimaçāo da média de corrente nāo ultrapasse 0,03 A, com 95 \% de confiança. Determine o tamanho mínimo da amostra para atingir essa precisāo.
(c) Para verificar se a eficiência mínima é atingida, uma nova amostra de 50 medições foi elaborada, onde 3 F tiveram eficiēncia \geq 85 \%. Construa um intervalo de confiança de 90 \% para a proporçāo de unidades conformes

Passo 1

O enunciado faz três perguntas claras:
  1. (a) Construir um intervalo de confiança de 95\% para a média da corrente de operação das fontes, admitindo normalidade, usando as 10 medições dadas.
  2. (b) Determinar o tamanho mínimo da amostra, para futuras inspeções, de modo que o erro máximo de estimação da média seja 0,03\\ \mathrm{A} com 95\% de confiança.
  3. (c) A partir de uma nova amostra de 50 medições onde 3 unidades tiveram eficiência \geq 85\%, construir um intervalo de confiança de 90\% para a proporção de unidades conformes.
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
\text{Medições de corrente (A)} = 1,92,\\\ 2,08,\\\ 1,95,\\\ 2,02,\\\ 2,15,\\\ 1,97,\\\ 1,90,\\\ 2,05,\\\ 2,11,\\\ 1,94çõ
Além disso:
  • Para (a) e (b): n=10 medições iniciais.
  • Para (c): nova amostra com n=50 e número de conformes x=3.

Passo 2

Cálculo da média amostral \bar{x} e do desvio-padrão amostral s (passo-a-passo, para eu poder reproduzir na prova).
Fórmulas que vamos usar:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, \qquad s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}.
  1. Soma das observações (peguei os valores da tabela):
\sum_{i=1}^{10} x_i = 20{,}09.
  1. Média amostral:
\bar{x}=\frac{20{,}09}{10}=2{,}009\\ \mathrm{A}.
  1. Para o desvio: calculei cada x_i-\bar{x}, seus quadrados e somei; o somatório dos quadrados dos desvios deu 0{,}06649. Então
s^2=\frac{0{,}06649}{10-1}=\frac{0{,}06649}{9}=0{,}0073877\ldots
s=\sqrt{0{,}0073877\ldots}=0{,}0859\\ \mathrm{A}\\ (\text{aprox.}).
Observação didática rápida: \bar{x} é o “bom e velho” valor médio; s é a estimativa do desvio padrão da população baseada na amostra, e usamos divisor n-1 para corrigir o viés (graus de liberdade).

Passo 3

Construção do intervalo de confiança de 95\% para a média (item a).
Raciocínio e fórmula:
  • Como n=10 é pequeno e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição t de Student com n-1=9 graus de liberdade.
  • A fórmula do intervalo é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui \alpha=0{,}05 para 95\% de confiança, então precisamos de t_{0{,}975,9}.
Valores numéricos:
  • Peguei na tabela t_{0{,}975,9}\approx 2{,}262.
  • Margem de erro:
\text{ME}=2{,}262\cdot\frac{0{,}0859}{\sqrt{10}}.
Calculemos passo-a-passo:
\sqrt{10}\approx 3{,}1623, \qquad 2{,}262\cdot 0{,}0859 \approx 0{,}1944,
\text{ME}\approx \frac{0{,}1944}{3{,}1623}\approx 0{,}0615\\ \mathrm{A}.
Portanto o intervalo de 95\% é
\bar{x}\pm \text{ME} = 2{,}009 \pm 0{,}0615,
ou seja
\text{IC}_{95\%}\approx [\,1{,}9475,\\\ 2{,}0705\,].
Arredondando razoavelmente para três casas decimais:
\text{IC}_{95\%}\approx [\,1{,}948,\\\ 2{,}071\,]\\ \mathrm{A}.
Didática: na prova, quando n é pequeno e \sigma é desconhecida, use t. Calcule \bar{x}, calcule s, busque t_{1-\alpha/2,\,n-1} em tabela, e depois faça \bar{x}\pm t\cdot s/\sqrt{n}.

Passo 4

Determinar o tamanho mínimo da amostra para que o erro máximo de estimação da média seja E=0{,}03\\ \mathrm{A} com 95\% de confiança (item b).
Teoria e escolha do método:
  • A fórmula básica para o tamanho n quando se quer que a margem de erro seja \le E é, supondo conhecida a variância populacional \sigma^2,
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Rightarrow\quad n=\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
  • Aqui \sigma não é conhecida; usamos a estimativa amostral s obtida no Passo 2 como aproximação prática. Para planejamento de amostra é comum usar z (normal) com \sigma aproximada por s. Alternativa mais refinada: usar t e iterar (começar com z, obter n, usar t com n-1, recalcular etc.). Vou mostrar os dois caminhos e dar uma recomendação segura.
Cálculo usando z (aproximação comum):
  • Para 95\%, z_{0{,}975}=1{,}96.
  • Usando s\approx 0{,}0859:
n\ge \left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}0859}{0{,}03}\right)^2.
Calcule:
1{,}96\cdot 0{,}0859\approx 0{,}1684, \qquad \frac{0{,}1684}{0{,}03}\approx 5{,}613,
n\ge 5{,}613^2\approx 31{,}5.
Portanto, n_{\min}=32 pela aproximação com z (arredondando para cima, porque precisamos de um inteiro e garantir o erro máximo).
Cálculo refinado usando iteração com t:
  • Começamos com n_0=32. Para n=32, t_{0{,}975,31}\approx 2{,}040.
  • Recalcule n com t no lugar de z:
n\ge\left(\frac{2{,}040\cdot 0{,}0859}{0{,}03}\right)^2 \approx\left(\frac{0{,}1753}{0{,}03}\right)^2 \approx 34{,}15.
  • Arredondando para cima, dá n=35. Se quisermos podemos recalcular t_{0{,}975,34} e repetir; a convergência rapidamente dá n\approx 35.
Recomendação prática (segurança): usar n=35 para garantir o erro máximo de 0{,}03\\ \mathrm{A} com 95\% de confiança, pois a versão com t é mais adequada quando a variância é estimada e dá um número um pouco maior que a aproximação com z.

Passo 5

Intervalo de confiança de 90\% para a proporção de unidades conformes (item c), com n=50 e x=3.
Raciocínio e aviso didático:
  • A estimativa pontual é \hat{p}=x/n=3/50=0{,}06.
  • Atenção: x=3 é um valor pequeno (isto é, np=3<5), então o método clássico “Wald” ( \hat{p}\pm z\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}) pode ser pouco confiável (ele pode dar intervalos com limites negativos ou muito otimistas). Portanto é melhor usar o intervalo de Wilson, que tem desempenho bem melhor para proporções pequenas.
  • Fórmula do intervalo de Wilson (para nível 1-\alpha, com z=z_{1-\alpha/2}):
\tilde{p}=\frac{\hat{p}+\dfrac{z^2}{2n}}{1+\dfrac{z^2}{n}}, \qquad \text{ME}=\frac{z}{1+\dfrac{z^2}{n}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2}},
e o intervalo é \tilde{p}\pm \text{ME}.
Cálculos (passo-a-passo) para 90\%:
  • Nível 90\% -> \alpha=0{,}10 -> z_{0{,}95}=1{,}645.
  • Valores numéricos:
\hat{p}=0{,}06,\qquad n=50,\qquad z=1{,}645,\qquad z^2\approx 2{,}7060.
Calcule termos:
\frac{z^2}{2n}=\frac{2{,}7060}{100}=0{,}027060, \qquad \frac{z^2}{n}=\frac{2{,}7060}{50}=0{,}054120.
Centro ajustado:
\tilde{p}=\frac{0{,}06+0{,}027060}{1+0{,}054120}=\frac{0{,}087060}{1{,}054120}\approx 0{,}0826.
Termo dentro da raiz:
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}+\frac{z^2}{4n^2} = \frac{0{,}06\cdot 0{,}94}{50} + \frac{2{,}7060}{4\cdot 2500}
= \frac{0{,}0564}{50} + \frac{2{,}7060}{10000} =0{,}001128 + 0{,}0002706 = 0{,}0013986.
Raiz:
\sqrt{0{,}0013986}\approx 0{,}03740.
Fator multiplicativo:
\frac{z}{1+z^2/n}=\frac{1{,}645}{1{,}054120}\approx 1{,}5609.
Margem de erro:
\text{ME}=1{,}5609\times 0{,}03740\approx 0{,}0584.
Intervalo de Wilson:
\tilde{p}\pm\text{ME} \approx 0{,}0826 \pm 0{,}0584,
ou seja
\text{IC}_{90\%}\approx [\,0{,}0242,\\\ 0{,}1410\,].
Arredondando a três casas decimais:
\text{IC}_{90\%}\approx [\,0{,}024,\\\ 0{,}141\,].
Interpretação curta: com 90\% de confiança, a proporção verdadeira de unidades com eficiência \ge 85\% está entre cerca de 2{,}4\% e 14{,}1\%. Isso mostra que, com apenas 3 conformes em 50, a proporção é pequena e a incerteza relativa ainda é relativamente grande.

Resposta

(a) [\,1{,}948,\\\ 2{,}071\,]\\ \mathrm{A}
(b) n_{\min}=35
(c) [\,0{,}024,\\\ 0{,}141\,]

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