Durante a validação de um novo lote de fontes chaveadas para um sistema de automação industrial, o engenheiro responsável decidiu avaliar o consumo de corrente das unidades. De acordo com o fabricante, cada fonte deveria operar com corrente nominal em torno de
. Foram realizadas 10 mediçōes independentes em condições idênticas e verificou-se se cada unidade mantinha a eficiência mínima de
.
Corrente
1,92
2,08
1,95
2,02
2,15
1,97
1,90
2,05
2,11
1,94
(a) Construa um intervalo de confiança de
para a média da corrente de operação das fontes. Admita que a corrente siga uma distribuição normal.
(b) O engenheiro deseja que, em futuras inspeçōes, o erro máximo de estimaçāo da média de corrente nāo ultrapasse
, com
de confiança. Determine o tamanho mínimo da amostra para atingir essa precisāo.
(c) Para verificar se a eficiência mínima é atingida, uma nova amostra de 50 medições foi elaborada, onde 3 F tiveram eficiēncia
. Construa um intervalo de confiança de
para a proporçāo de unidades conformes
| Corrente
|
1,92 | 2,08 | 1,95 | 2,02 | 2,15 | 1,97 | 1,90 | 2,05 | 2,11 | 1,94 |
(b) O engenheiro deseja que, em futuras inspeçōes, o erro máximo de estimaçāo da média de corrente nāo ultrapasse
(c) Para verificar se a eficiência mínima é atingida, uma nova amostra de 50 medições foi elaborada, onde 3 F tiveram eficiēncia
Passo 1
O enunciado faz três perguntas claras:
- (a) Construir um intervalo de confiança de
para a média da corrente de operação das fontes, admitindo normalidade, usando as medições dadas. - (b) Determinar o tamanho mínimo da amostra, para futuras inspeções, de modo que o erro máximo de estimação da média seja
com de confiança. - (c) A partir de uma nova amostra de
medições onde unidades tiveram eficiência , construir um intervalo de confiança de para a proporção de unidades conformes.
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
Além disso:
- Para (a) e (b):
medições iniciais. - Para (c): nova amostra com
e número de conformes .
Passo 2
Cálculo da média amostral
e do desvio-padrão amostral
(passo-a-passo, para eu poder reproduzir na prova).
Fórmulas que vamos usar:
- Soma das observações (peguei os valores da tabela):
- Média amostral:
- Para o desvio: calculei cada
, seus quadrados e somei; o somatório dos quadrados dos desvios deu . Então
Observação didática rápida:
é o “bom e velho” valor médio;
é a estimativa do desvio padrão da população baseada na amostra, e usamos divisor
para corrigir o viés (graus de liberdade).
Passo 3
Construção do intervalo de confiança de
para a média (item a).
Raciocínio e fórmula:
- Como
é pequeno e a variância populacional é desconhecida, usamos a distribuição de Student com graus de liberdade. - A fórmula do intervalo é
Aqui
para
de confiança, então precisamos de
.
Valores numéricos:
- Peguei na tabela
. - Margem de erro:
Calculemos passo-a-passo:
Portanto o intervalo de
é
ou seja
Arredondando razoavelmente para três casas decimais:
Didática: na prova, quando
é pequeno e
é desconhecida, use
. Calcule
, calcule
, busque
em tabela, e depois faça
.
Passo 4
Determinar o tamanho mínimo da amostra para que o erro máximo de estimação da média seja
com
de confiança (item b).
Teoria e escolha do método:
- A fórmula básica para o tamanho
quando se quer que a margem de erro seja é, supondo conhecida a variância populacional ,
- Aqui
não é conhecida; usamos a estimativa amostral obtida no Passo 2 como aproximação prática. Para planejamento de amostra é comum usar (normal) com aproximada por . Alternativa mais refinada: usar e iterar (começar com , obter , usar com , recalcular etc.). Vou mostrar os dois caminhos e dar uma recomendação segura.
Cálculo usando
(aproximação comum):
- Para
, . - Usando
:
Calcule:
Portanto,
pela aproximação com
(arredondando para cima, porque precisamos de um inteiro e garantir o erro máximo).
Cálculo refinado usando iteração com
:
- Começamos com
. Para , . - Recalcule
com no lugar de :
- Arredondando para cima, dá
. Se quisermos podemos recalcular e repetir; a convergência rapidamente dá .
Recomendação prática (segurança): usar
para garantir o erro máximo de
com
de confiança, pois a versão com
é mais adequada quando a variância é estimada e dá um número um pouco maior que a aproximação com
.
Passo 5
Intervalo de confiança de
para a proporção de unidades conformes (item c), com
e
.
Raciocínio e aviso didático:
- A estimativa pontual é
. - Atenção:
é um valor pequeno (isto é, ), então o método clássico “Wald” ( ) pode ser pouco confiável (ele pode dar intervalos com limites negativos ou muito otimistas). Portanto é melhor usar o intervalo de Wilson, que tem desempenho bem melhor para proporções pequenas. - Fórmula do intervalo de Wilson (para nível
, com ):
e o intervalo é
.
Cálculos (passo-a-passo) para
:
- Nível
-> -> . - Valores numéricos:
Calcule termos:
Centro ajustado:
Termo dentro da raiz:
Raiz:
Fator multiplicativo:
Margem de erro:
Intervalo de Wilson:
ou seja
Arredondando a três casas decimais:
Interpretação curta: com
de confiança, a proporção verdadeira de unidades com eficiência
está entre cerca de
e
. Isso mostra que, com apenas
conformes em
, a proporção é pequena e a incerteza relativa ainda é relativamente grande.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)