lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
é espaço amostral,
é
-álgebra de eventos e
probailidade
Dados
, mostre que:
Generalize para
e prove a expressão.
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
Dados
Passo 1
O enunciado diz: temos um espaço amostral
, uma
-álgebra de eventos
e uma probabilidade
. São dados
. Precisamos mostrar a fórmula
Depois, devemos generalizar essa igualdade para
e provar a expressão geral.
Informações relevantes dadas:
é o espaço amostral;
é a
-álgebra (logo fechada por complementos e uniões contáveis);
é uma probabilidade (satisfaz os axiomas:
,
, e aditividade contável para eventos disjuntos). Os conjuntos
pertencem a
. O que se pede é a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos e sua generalização para
conjuntos.
Passo 2
Lembrete/pequena aula: axioma crucial usado
- Aditividade finita para conjuntos disjuntos: se
são disjuntos (i.e. ), então
Isso vem do axioma de aditividade contável (aplicado a duas parcelas). Também vamos usar que, para qualquer dois eventos
,
é uma união disjunta; portanto
Essas decomposições em partes disjuntas são a ferramenta principal: sempre quebrar uniões em pedaços disjuntos e somar probabilidades.
Passo 3
Provar primeiro a fórmula para dois conjuntos (lembrança essencial). Para quaisquer
temos a decomposição disjunta
onde
e
são disjuntos. Assim
Mas também
disjuntas, logo
Isolando
e substituindo,
então
Essa é a fórmula básica de inclusão-exclusão para dois conjuntos. Guarde bem — vai ser usada em seguida.
Passo 4
Agora a prova para três conjuntos usando a fórmula para dois conjuntos passo a passo (método iterativo). Começamos escrevendo
Aplicando a fórmula para dois conjuntos com
e
obtemos
Explicando: usamos a identidade provada no passo anterior para dois conjuntos.
Passo 5
Expandimos agora cada termo que ficou:
- Pelo caso dois conjuntos,
- Usamos a distributividade de interseção sobre união para o outro termo:
Note que
e
podem não ser disjuntos; portanto aplicamos a fórmula de dois conjuntos a eles:
Mas
. Logo
Passo 6
Agora substituímos as expansões do passo anterior na expressão do passo 4:
Agrupando termos (atenção aos sinais),
Prontinho — obtivemos exatamente a fórmula pedida para três conjuntos. Interprete: somamos as probabilidades individuais, subtraímos as interseções duplas (porque foram contadas duas vezes), e adicionamos a interseção tripla (porque foi subtraída três vezes nas duplas, então precisamos trazê-la de volta uma vez).
Passo 7
Intuição alternativa (útil na prova geral): a união de três conjuntos pode ser particionada em partes disjuntas (os “átomos” determinados pelas presenças/ausências em cada conjunto). Para três conjuntos existem 7 partes não vazias possíveis — cada uma tem probabilidade e a soma dá a probabilidade da união. Somando essas partes de forma adequada chega-se à mesma fórmula. Essa visão de “partição em átomos disjuntos” é muito útil para entender o padrão que aparece na generalização.
Passo 8
Enunciado da generalização (princípio da inclusão-exclusão): para
vale
Agora vamos provar por indução em
.
Passo 9
Base da indução:
- Para
a fórmula diz , óbvio. - Para
já provamos no Passo 3:
Portanto a base está estabelecida.
Passo 10
Hipótese de indução: suponha que a fórmula é verdadeira para
conjuntos, isto é, para
temos
Passo 11
Passo indutivo: considere
conjuntos
. Escreva
Aplicando a fórmula para união de dois conjuntos (veja Passo 3) obtemos
Passo 12
Observe a identidade de conjuntos
Isso é uma união de
conjuntos do tipo
. Podemos aplicar a hipótese de indução (a fórmula de inclusão-exclusão) a essa união de
conjuntos. Aplicando a hipótese temos
Repare que cada termo é a probabilidade da interseção de
conjuntos entre os
originais, sempre incluindo
.
Passo 13
Voltemos à expressão de
:
substituindo a hipótese de indução para (Passo 10) e a expressão do passo anterior para
, obtemos uma soma em que aparecem:
substituindo a hipótese de indução para
- termos com interseções que não envolvem
(vindos de ), com sinais para interseções de tamanho , ; - o termo
(que é a interseção de tamanho envolvendo ); - termos com interseções que envolvem
(vindos de ), que têm sinais e correspondem a interseções de tamanho das conjuntos.
Ao reagrupar todas essas contribuições por tamanho
da interseção (onde
varia de
até
), vemos que o coeficiente de todos os termos que são interseções de exatamente
conjuntos é
. Isso ocorre porque:
- para
as interseções de tamanho aparecem uma vez na soma de com sinal ; - as interseções que incluem
e têm tamanho aparecem na subtração com sinal que simplifica para quando indexadas adequadamente; - o caso
(todas as interseções de todos os conjuntos) aparece apenas na parte que subtrai a união dos (com sinal final ).
Assim, após reunir termos por tamanho
, obtemos exatamente a soma alternada de inclusão-exclusão:
Isso conclui o passo indutivo e, portanto, a prova por indução.