lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
\Omega é espaço amostral, A é \sigma-álgebra de eventos e p probailidade
Dados A, B, C \in A, mostre que:
p(A \cup B \cup C)=p(A)+p(B)+p\text{(C)}-p(A \cap B)-p(A \cap C)-p(C \cap B)+p(A \cap B \cap C
Generalize para A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} \in A e prove a expressão.

Passo 1

O enunciado diz: temos um espaço amostral \Omega, uma \sigma-álgebra de eventos A e uma probabilidade p. São dados A,B,C\in A. Precisamos mostrar a fórmula
p(A\cup B\cup C)=p(A)+p(B)+p\text{(C)}-p(A\cap B)-p(A\cap C)-p(B\cap C)+p(A\cap B\cap C).
Depois, devemos generalizar essa igualdade para A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}\in A e provar a expressão geral.
Informações relevantes dadas:
\Omega é o espaço amostral; A é a \sigma-álgebra (logo fechada por complementos e uniões contáveis); p é uma probabilidade (satisfaz os axiomas: p(E)\ge0, p(\Omega)=1, e aditividade contável para eventos disjuntos). Os conjuntos A,B,C pertencem a A. O que se pede é a fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos e sua generalização para n conjuntos.

Passo 2

Lembrete/pequena aula: axioma crucial usado
  • Aditividade finita para conjuntos disjuntos: se E_1,E_2 são disjuntos (i.e. E_1\cap E_2=\varnothing), então
p(E_1\cup E_2)=p(E_1)+p(E_2).
Isso vem do axioma de aditividade contável (aplicado a duas parcelas). Também vamos usar que, para qualquer dois eventos X,Y,
X = (X\setminus Y)\cup (X\cap Y)
é uma união disjunta; portanto
p(X)=p(X\setminus Y)+p(X\cap Y).
Essas decomposições em partes disjuntas são a ferramenta principal: sempre quebrar uniões em pedaços disjuntos e somar probabilidades.

Passo 3

Provar primeiro a fórmula para dois conjuntos (lembrança essencial). Para quaisquer A,B\in A temos a decomposição disjunta
A\cup B = A \cup (B\setminus A),
onde A e B\setminus A são disjuntos. Assim
p(A\cup B)=p(A)+p(B\setminus A).
Mas também B=(B\setminus A)\cup (A\cap B) disjuntas, logo
p(B)=p(B\setminus A)+p(A\cap B).
Isolando p(B\setminus A) e substituindo,
p(B\setminus A)=p(B)-p(A\cap B),
então
p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B).
Essa é a fórmula básica de inclusão-exclusão para dois conjuntos. Guarde bem — vai ser usada em seguida.

Passo 4

Agora a prova para três conjuntos usando a fórmula para dois conjuntos passo a passo (método iterativo). Começamos escrevendo
p(A\cup B\cup C)=p\big(A\cup (B\cup C)\big).
Aplicando a fórmula para dois conjuntos com A e B\cup C obtemos
p(A\cup B\cup C)=p(A)+p(B\cup C)-p\big(A\cap (B\cup C)\big).
Explicando: usamos a identidade provada no passo anterior para dois conjuntos.

Passo 5

Expandimos agora cada termo que ficou:
  1. Pelo caso dois conjuntos,
p(B\cup C)=p(B)+p\text{(C)}-p(B\cap C).
  1. Usamos a distributividade de interseção sobre união para o outro termo:
A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).
Note que (A\cap B) e (A\cap C) podem não ser disjuntos; portanto aplicamos a fórmula de dois conjuntos a eles:
p\big(A\cap (B\cup C)\big)=p(A\cap B)+p(A\cap C)-p\big((A\cap B)\cap (A\cap C)\big).
Mas (A\cap B)\cap (A\cap C)=A\cap B\cap C. Logo
p\big(A\cap (B\cup C)\big)=p(A\cap B)+p(A\cap C)-p(A\cap B\cap C).

Passo 6

Agora substituímos as expansões do passo anterior na expressão do passo 4:
\begin{aligned} p(A\cup B\cup C) &=p(A)+\big[p(B)+p\text{(C)}-p(B\cap C)\big] \\\ &\quad -\big[p(A\cap B)+p(A\cap C)-p(A\cap B\cap C)\big]. \end{aligned}
Agrupando termos (atenção aos sinais),
p(A\cup B\cup C)=p(A)+p(B)+p\text{(C)}-p(A\cap B)-p(A\cap C)-p(B\cap C)+p(A\cap B\cap C).
Prontinho — obtivemos exatamente a fórmula pedida para três conjuntos. Interprete: somamos as probabilidades individuais, subtraímos as interseções duplas (porque foram contadas duas vezes), e adicionamos a interseção tripla (porque foi subtraída três vezes nas duplas, então precisamos trazê-la de volta uma vez).

Passo 7

Intuição alternativa (útil na prova geral): a união de três conjuntos pode ser particionada em partes disjuntas (os “átomos” determinados pelas presenças/ausências em cada conjunto). Para três conjuntos existem 7 partes não vazias possíveis — cada uma tem probabilidade e a soma dá a probabilidade da união. Somando essas partes de forma adequada chega-se à mesma fórmula. Essa visão de “partição em átomos disjuntos” é muito útil para entender o padrão que aparece na generalização.

Passo 8

Enunciado da generalização (princípio da inclusão-exclusão): para A_1,\dots,A_n\in A vale
p\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\!\!\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} p\big(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}\big).
Agora vamos provar por indução em n.

Passo 9

Base da indução:
  • Para n=1 a fórmula diz p(A_1)=p(A_1), óbvio.
  • Para n=2 já provamos no Passo 3:
p(A_1\cup A_2)=p(A_1)+p(A_2)-p(A_1\cap A_2).
Portanto a base está estabelecida.

Passo 10

Hipótese de indução: suponha que a fórmula é verdadeira para n-1 conjuntos, isto é, para A_1,\dots,A_{n-1} temos
p\Big(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\Big)=\sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k+1}\!\!\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n-1} p\big(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}\big).

Passo 11

Passo indutivo: considere n conjuntos A_1,\dots,A_n. Escreva
p\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big)=p\Big(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \;\cup\; A_n\Big).
Aplicando a fórmula para união de dois conjuntos (veja Passo 3) obtemos
p\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = p\Big(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\Big) + p(A_n) - p\Big(\big(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\big)\cap A_n\Big).

Passo 12

Observe a identidade de conjuntos
\Big(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\Big)\cap A_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} (A_i\cap A_n).
Isso é uma união de n-1 conjuntos do tipo A_i\cap A_n. Podemos aplicar a hipótese de indução (a fórmula de inclusão-exclusão) a essa união de n-1 conjuntos. Aplicando a hipótese temos
\begin{aligned} p\Big(\bigcup_{i=1}^{n-1} (A_i\cap A_n)\Big) &= \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k+1} \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n-1} p\big((A_{i_1}\cap A_n)\cap\cdots\cap(A_{i_k}\cap A_n)\big) \\\ &= \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k+1} \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n-1} p\big(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}\cap A_n\big). \end{aligned}
Repare que cada termo é a probabilidade da interseção de k+1 conjuntos entre os n originais, sempre incluindo A_n.

Passo 13

Voltemos à expressão de p(\bigcup_{i=1}^n A_i):
substituindo a hipótese de indução para p(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i) (Passo 10) e a expressão do passo anterior para p((\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i)\cap A_n), obtemos uma soma em que aparecem:
  • termos com interseções que não envolvem A_n (vindos de p(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i)), com sinais (-1)^{k+1} para interseções de tamanho k, 1\le k\le n-1;
  • o termo p(A_n) (que é a interseção de tamanho 1 envolvendo A_n);
  • termos com interseções que envolvem A_n (vindos de p((\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i)\cap A_n)), que têm sinais -(-1)^{k+1}=(-1)^{k} e correspondem a interseções de tamanho k+1 das n conjuntos.
Ao reagrupar todas essas contribuições por tamanho m da interseção (onde m varia de 1 até n), vemos que o coeficiente de todos os termos que são interseções de exatamente m conjuntos é (-1)^{m+1}. Isso ocorre porque:
  • para m\le n-1 as interseções de tamanho m aparecem uma vez na soma de p(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i) com sinal (-1)^{m+1};
  • as interseções que incluem A_n e têm tamanho m aparecem na subtração com sinal -(-1)^{m} que simplifica para (-1)^{m+1} quando indexadas adequadamente;
  • o caso m=n (todas as interseções de todos os n conjuntos) aparece apenas na parte que subtrai a união dos A_i\cap A_n (com sinal final (-1)^{n+1}).
Assim, após reunir termos por tamanho m, obtemos exatamente a soma alternada de inclusão-exclusão:
p\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big)=\sum_{m=1}^n (-1)^{m+1}\!\!\sum_{1\le i_1<\cdots<i_m\le n} p\big(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_m}\big).
Isso conclui o passo indutivo e, portanto, a prova por indução.

Resposta

p(A\cup B\cup C)=p(A)+p(B)+p\text{(C)}-p(A\cap B)-p(A\cap C)-p(B\cap C)+p(A\cap B\cap C)
p\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} p\big(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_k}\big)

Exercícios relacionados