(a) Admita, no conjunto de axiomas dos números inteiros, a seguinte propriedade em lugar da lei do cancelamento da multiplicação (página 4): Para quaisquer inteiros
e b,
Demonstre então a lei do cancelamento da multiplicação a partir de tal propriedade, admitindo as demais propriedades axiomáticas das operações em
.
(b) Mostre que a lei do cancelamento da multiplicação não precisa ser admitida como um axioma, pois ela é um teorema que pode ser deduzido a partir da proposição 1.2. Ou seja, mostre que a proposição 1.2 tem como consequência a lei do cancelamento da multiplicação.
(b) Mostre que a lei do cancelamento da multiplicação não precisa ser admitida como um axioma, pois ela é um teorema que pode ser deduzido a partir da proposição 1.2. Ou seja, mostre que a proposição 1.2 tem como consequência a lei do cancelamento da multiplicação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas, que estão relacionadas:
(a) Admitir, no conjunto de axiomas dos inteiros, a seguinte propriedade em lugar da lei do cancelamento da multiplicação:
Com essa propriedade (e as demais propriedades axiomáticas usuais dos inteiros), demonstrar a lei do cancelamento da multiplicação: isto é, provar que, para quaisquer inteiros
,
(b) Mostrar que a lei do cancelamento da multiplicação não precisa ser um axioma separado, pois ela segue como consequência da proposição 1.2 (que, pela redação do enunciado, é exatamente a propriedade acima). Ou seja, mostrar que a proposição 1.2 implica a lei do cancelamento.
Informações e hipóteses relevantes (tudo válido no anel
):
- Existe elemento neutro aditivo
e neutro multiplicativo . - Para todo inteiro
existe inverso aditivo denotado por , tal que . - A multiplicação é distributiva sobre a adição: para quaisquer inteiros
,
- Podemos definir subtração por
. - Admitimos (para o item (a)) a propriedade: se
então ou . - No item (b) a “proposição 1.2” é exatamente a propriedade acima (conforme o enunciado), e devemos deduzir a lei do cancelamento a partir dela.
Passo 2
Entendimento da estratégia (sem ainda fazer contas): para provar a lei do cancelamento queremos partir da hipótese
e, usando as propriedades axiomáticas, transformar essa igualdade numa igualdade do tipo
. Depois, aplicaremos a propriedade assumida (ou proposição 1.2) que diz que quando um produto é zero, um dos fatores é zero. Então, se
teremos
e daí
. Vou mostrar com cuidado cada passo algébrico necessário para justificar a transformação
.
Passo 3
Definição e manipulação básica que vamos usar: lembrar que subtração é soma do inverso aditivo. Ou seja, para inteiros
e
definimos
onde
é o inverso aditivo de
(isto é,
). Também lembramos a distributividade
para quaisquer inteiros
. Vamos aplicar isso com
e
.
Passo 4
Aplicando distributividade para obter
em termos de
e
.
Começamos escrevendo a definição de
:
Multiplicando ambos os lados por
à direita e usando distributividade, obtemos
Aqui já reduzimos a questão para entender o termo
. Precisamos relacioná-lo com
.
Passo 5
Mostrar que
é o inverso aditivo de
, ou seja, que
. Para isso uso novamente a distributividade e a propriedade do inverso aditivo:
Calcule
. Pela distributividade,
Pela definição de
,
. Logo
Pelo axioma do neutro aditivo e propriedades usuais da multiplicação,
. Portanto
Assim,
é um elemento que somado a
dá
; pelo caráter único do inverso aditivo concluímos que
Passo 6
Voltar à expressão de
e substituí-la por
. Usando o resultado do Passo 5, da igualdade do Passo 4 temos
Pela definição de subtração
vemos que
é exatamente
. Assim
Passo 7
Aplicar a hipótese inicial
. Se
então
. Usando a igualdade do Passo 6 obtemos
Agora aplicamos a propriedade admitida (ou proposição 1.2): se um produto é zero então um dos fatores é zero. Assim, de
segue que
Passo 8
Concluir a lei do cancelamento. A hipótese da lei do cancelamento exige
. Então, da disjunção do Passo 7 segue necessariamente
. Da definição de subtração isso significa
. Portanto provamos que
que é exatamente a lei do cancelamento da multiplicação.
Passo 9
Explicação didática final e exemplo para fixar a intuição: o ponto-chave foi transformar a diferença
em
usando a distributividade e a propriedade de inversos aditivos. A propriedade assumida (ou proposição 1.2) é precisamente a regra que elimina a possibilidade de fatores “não-triviais” gerarem produto zero (na linguagem algébrica, que
não tem divisores de zero). Sem essa propriedade, do fato
não se seguiria necessariamente que
ou
, e aí a prova cairia. Exemplo numérico para ver por que precisamos de
: sempre vale
para quaisquer
, então não podemos cancelar quando
; por isso a hipótese
é essencial.
Resposta
(a) Se
e
então
.
(b) A proposição 1.2 (isto é, a propriedade ou
) implica a lei do cancelamento da multiplicação; logo a lei do cancelamento não precisa ser assumida como axioma, pois é um teorema decorrente de 1.2.
(b) A proposição 1.2 (isto é, a propriedade