(a) Admita, no conjunto de axiomas dos números inteiros, a seguinte propriedade em lugar da lei do cancelamento da multiplicação (página 4): Para quaisquer inteiros a e b,
a \cdot b=0 \Rightarrow a=0 \text { ou } b=0 .
Demonstre então a lei do cancelamento da multiplicação a partir de tal propriedade, admitindo as demais propriedades axiomáticas das operações em \mathbb{Z}.
(b) Mostre que a lei do cancelamento da multiplicação não precisa ser admitida como um axioma, pois ela é um teorema que pode ser deduzido a partir da proposição 1.2. Ou seja, mostre que a proposição 1.2 tem como consequência a lei do cancelamento da multiplicação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas, que estão relacionadas:
(a) Admitir, no conjunto de axiomas dos inteiros, a seguinte propriedade em lugar da lei do cancelamento da multiplicação:
\text{Para quaisquer inteiros }a\text{ e }b,\quad a\cdot b=0\Rightarrow a=0\text{ ou }b=0.
Com essa propriedade (e as demais propriedades axiomáticas usuais dos inteiros), demonstrar a lei do cancelamento da multiplicação: isto é, provar que, para quaisquer inteiros a,b,c,
ac=bc \text{ e } c\neq 0 \Rightarrow a=b.
(b) Mostrar que a lei do cancelamento da multiplicação não precisa ser um axioma separado, pois ela segue como consequência da proposição 1.2 (que, pela redação do enunciado, é exatamente a propriedade acima). Ou seja, mostrar que a proposição 1.2 implica a lei do cancelamento.
Informações e hipóteses relevantes (tudo válido no anel \mathbb{Z}):
  • Existe elemento neutro aditivo 0 e neutro multiplicativo 1.
  • Para todo inteiro x existe inverso aditivo denotado por -x, tal que x+(-x)=0.
  • A multiplicação é distributiva sobre a adição: para quaisquer inteiros x,y,z,
(x+y)z=xz+yz.
  • Podemos definir subtração por x-y:=x+(-y).
  • Admitimos (para o item (a)) a propriedade: se xy=0 então x=0 ou y=0.
  • No item (b) a “proposição 1.2” é exatamente a propriedade acima (conforme o enunciado), e devemos deduzir a lei do cancelamento a partir dela.

Passo 2

Entendimento da estratégia (sem ainda fazer contas): para provar a lei do cancelamento queremos partir da hipótese ac=bc e, usando as propriedades axiomáticas, transformar essa igualdade numa igualdade do tipo (a-b)c=0. Depois, aplicaremos a propriedade assumida (ou proposição 1.2) que diz que quando um produto é zero, um dos fatores é zero. Então, se c\neq 0 teremos a-b=0 e daí a=b. Vou mostrar com cuidado cada passo algébrico necessário para justificar a transformação ac-bc=(a-b)c.

Passo 3

Definição e manipulação básica que vamos usar: lembrar que subtração é soma do inverso aditivo. Ou seja, para inteiros a e b definimos
a-b := a + (-b),
onde -b é o inverso aditivo de b (isto é, b+(-b)=0). Também lembramos a distributividade
(x+y)z = xz + yz
para quaisquer inteiros x,y,z. Vamos aplicar isso com x=a e y=-b.

Passo 4

Aplicando distributividade para obter (a-b)c em termos de ac e bc.
Começamos escrevendo a definição de a-b:
a-b = a + (-b).
Multiplicando ambos os lados por c à direita e usando distributividade, obtemos
(a-b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c.
Aqui já reduzimos a questão para entender o termo (-b)c. Precisamos relacioná-lo com bc.

Passo 5

Mostrar que (-b)c é o inverso aditivo de bc, ou seja, que (-b)c = -(bc). Para isso uso novamente a distributividade e a propriedade do inverso aditivo:
Calcule bc + (-b)c. Pela distributividade,
bc + (-b)c = (b + (-b))c.
Pela definição de -b, b + (-b) = 0. Logo
(b + (-b))c = 0\cdot c.
Pelo axioma do neutro aditivo e propriedades usuais da multiplicação, 0\cdot c = 0. Portanto
bc + (-b)c = 0.
Assim, (-b)c é um elemento que somado a bc 0; pelo caráter único do inverso aditivo concluímos que
(-b)c = -(bc).

Passo 6

Voltar à expressão de (a-b)c e substituí-la por ac-bc. Usando o resultado do Passo 5, da igualdade do Passo 4 temos
(a-b)c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)).
Pela definição de subtração x - y = x + (-y) vemos que ac + (-(bc)) é exatamente ac - bc. Assim
(a-b)c = ac - bc.

Passo 7

Aplicar a hipótese inicial ac=bc. Se ac=bc então ac - bc = 0. Usando a igualdade do Passo 6 obtemos
(a-b)c = ac - bc = 0.
Agora aplicamos a propriedade admitida (ou proposição 1.2): se um produto é zero então um dos fatores é zero. Assim, de (a-b)c=0 segue que
a-b = 0 \quad\text{ou}\quad c = 0.

Passo 8

Concluir a lei do cancelamento. A hipótese da lei do cancelamento exige c\neq 0. Então, da disjunção do Passo 7 segue necessariamente a-b=0. Da definição de subtração isso significa a=b. Portanto provamos que
ac=bc \text{ e } c\neq 0 \Rightarrow a=b,
que é exatamente a lei do cancelamento da multiplicação.

Passo 9

Explicação didática final e exemplo para fixar a intuição: o ponto-chave foi transformar a diferença ac-bc em (a-b)c usando a distributividade e a propriedade de inversos aditivos. A propriedade assumida (ou proposição 1.2) é precisamente a regra que elimina a possibilidade de fatores “não-triviais” gerarem produto zero (na linguagem algébrica, que \mathbb{Z} não tem divisores de zero). Sem essa propriedade, do fato xy=0 não se seguiria necessariamente que x=0 ou y=0, e aí a prova cairia. Exemplo numérico para ver por que precisamos de c\neq 0: sempre vale a\cdot 0 = b\cdot 0 para quaisquer a,b, então não podemos cancelar quando c=0; por isso a hipótese c\neq 0 é essencial.

Resposta

(a) Se ac=bc e c\neq 0 então a=b.
(b) A proposição 1.2 (isto é, a propriedade xy=0\Rightarrow x=0 ou y=0) implica a lei do cancelamento da multiplicação; logo a lei do cancelamento não precisa ser assumida como axioma, pois é um teorema decorrente de 1.2.

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