Questão 1
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
\end{abstract}
Considere os planos \prod_{1} e \prod_{2} dados respectivamente por:
\Pi_{1}: \quad a x+y+6 z=1, \quad \Pi_{2}: \quad a x-y-6 z=-1.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
\square a. se a^{2}>37 então os planos \prod_{1} e \prod_{2} necessariamente se interceptam por uma reta
\square b. se a \leqslant 0, então os planos \prod_{1} e \prod_{2} sempre são paralelos
\square c. se a=0, então os planos \prod_{1} e \prod_{2} são paralelos
\square d. \Pi_{1} e \Pi_{2} são perpendiculares se a^{2}=37^{\checkmark}
\square e. se a^{2}<37 então os planos \prod_{1} e \prod_{2} necessariamente se interceptam por uma reta
\square f. dependendo do valor de a_{n}, os planos \prod_{1} e \prod_{2} poderíam não se interceptar { }^{\mathbb{X}}

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies planas e pede que eu marque quais alternativas (entre a–f) são corretas. Informações dadas:
\Pi_{1}:\; a x + y + 6z = 1,
\Pi_{2}:\; a x - y - 6z = -1.
Pergunta objetiva: quais das alternativas a, b, c, d, e, f são verdadeiras?

Passo 2

Entender a peça chave: o vetor normal de um plano. Uma equação de plano na forma
A x + B y + C z = D
tem vetor normal (A,B,C). O vetor normal determina a orientação do plano. Portanto extraio os vetores normais dos dois planos:
n_{1} = (a,\,1,\,6),
n_{2} = (a,\,-1,\,-6).
Vou usar esses vetores para estudar quando os planos são paralelos, coincidentes, perpendiculares ou quando se intersectam por uma reta.

Passo 3

Condição de paralelismo entre dois planos: os planos são paralelos (ou coincidentes) quando seus vetores normais são colineares, isto é, existe \lambda tal que
(a,1,6)=\lambda(a,-1,-6).
Das componentes, da segunda componente vem 1=\lambda(-1), logo \lambda=-1. Substituindo na primeira componente dá
a = \lambda a = -a \quad\Longrightarrow\quad a=0.
A terceira componente fornece 6 = \lambda(-6) = 6, que é consistente. Conclusão: os vetores normais são múltiplos um do outro somente quando a=0. Portanto os planos são paralelos (no sentido de terem a mesma direção normal) apenas se a=0.

Passo 4

Agora verifico o caso a=0 explicitamente para ver se são planos distintos ou coincidentes. Para a=0 as equações ficam:
\Pi_{1}:\; y + 6z = 1,
\Pi_{2}:\; -y - 6z = -1.
Multiplicando a primeira por -1 obtemos -y - 6z = -1, que é exatamente a segunda. Logo, para a=0 os planos coincidem (são o mesmo plano). Assim:
  • a=0 ⇒ planos coincidentes (portanto paralelos, mas não distintos).
  • Para qualquer a\neq 0 os vetores normais não são colineares, então os planos não são paralelos.

Passo 5

Quando dois planos não são paralelos em \mathbb{R}^3, eles sempre se intersectam numa reta (dois planos não paralelos se cruzam numa reta). Assim, para todo a\neq 0 os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} têm interseção uma reta. Observação útil para avaliar alternativas: qualquer condição que implique a\neq 0 garante interseção por uma reta; se a condição incluir a=0 então não podemos afirmar “necessariamente por uma reta” porque em a=0 a interseção é o próprio plano (infinitos pontos), não uma reta.

Passo 6

Condição de perpendicularidade entre planos: acontece quando os vetores normais são ortogonais, isto é, seu produto escalar é zero. Calculo o produto escalar:
n_{1}\cdot n_{2} = (a,1,6)\cdot(a,-1,-6)=a\cdot a + 1\cdot(-1) + 6\cdot(-6)=a^{2}-1-36=a^{2}-37.
Para serem perpendiculares é preciso n_{1}\cdot n_{2}=0, então
a^{2}-37=0\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=37.
Portanto os planos são perpendiculares exatamente quando a^{2}=37.

Passo 7

Agora avalio cada alternativa com base no que já deduzi:
a. “se a^{2}>37 então os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} necessariamente se interceptam por uma reta.”
Se a^{2}>37 então a\neq 0. Como mostrei, para qualquer a\neq 0 os vetores normais não são colineares, logo os planos se intersectam por uma reta. Conclusão: alternativa a é verdadeira.
b. “se a\leqslant 0, então os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} sempre são paralelos.”
A condição necessária e suficiente para paralelismo foi a=0. Valores como a=-1 não satisfazem a=0 e os planos não são paralelos. Por exemplo, com a=-1 temos n_{1}=(-1,1,6) e n_{2}=(-1,-1,-6) que não são múltiplos. Logo a afirmação 'para todo a\le 0’ é falsa. Conclusão: alternativa b é falsa.
c. “se a=0, então os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} são paralelos.”
Para a=0 vimos que os planos coincidem, e coincidentes são um caso de planos paralelos (têm a mesma normal). Então essa afirmação é verdadeira (embora seja mais forte dizer “coincidem”, afirmar “são paralelos” é correta). Conclusão: alternativa c é verdadeira.
d. " \Pi_{1} e \Pi_{2} são perpendiculares se a^{2}=37."
Derivei que a condição de perpendicularidade é a^{2}=37. Logo d é verdadeira.
e. “se a^{2}<37 então os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} necessariamente se interceptam por uma reta.”
O conjunto a^{2}<37 inclui a=0. Para a=0 os planos coincidem, então a interseção não é uma reta; é todo o plano. Assim não é verdade que para todo a com a^{2}<37 a interseção seja necessariamente uma reta. Portanto e é falsa (contraex.: a=0).
f. “dependendo do valor de a, os planos \Pi_{1} e \Pi_{2} poderíam não se interceptar.”
Em \mathbb{R}^3, dois planos só não se interceptam quando são paralelos e distintos. Aqui vimos que a única possibilidade de paralelismo é a=0, e neste caso eles não são distintos: coincidem. Logo não existe valor de a que torne os planos paralelos e distintos; portanto eles sempre têm interseção (ou uma reta quando a\neq0, ou todo o plano quando a=0). Assim a afirmação de que poderiam não se interceptar é falsa. Conclusão: f é falsa.

Resposta

a, c, d

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