Questão 1
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
\end{abstract}
Considere os planos
e
dados respectivamente por:
.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
a. se
então os planos
e
necessariamente se interceptam por uma reta
b. se
, então os planos
e
sempre são paralelos
c. se
, então os planos
e
são paralelos
d.
e
são perpendiculares se
e. se
então os planos
e
necessariamente se interceptam por uma reta
f. dependendo do valor de
, os planos
e
poderíam não se interceptar
Parcialmente correto
Vale 1,00 ponto(s).
\end{abstract}
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies planas e pede que eu marque quais alternativas (entre a–f) são corretas. Informações dadas:
Pergunta objetiva: quais das alternativas a, b, c, d, e, f são verdadeiras?
Passo 2
Entender a peça chave: o vetor normal de um plano. Uma equação de plano na forma
tem vetor normal
. O vetor normal determina a orientação do plano. Portanto extraio os vetores normais dos dois planos:
Vou usar esses vetores para estudar quando os planos são paralelos, coincidentes, perpendiculares ou quando se intersectam por uma reta.
Passo 3
Condição de paralelismo entre dois planos: os planos são paralelos (ou coincidentes) quando seus vetores normais são colineares, isto é, existe
tal que
Das componentes, da segunda componente vem
, logo
. Substituindo na primeira componente dá
A terceira componente fornece
, que é consistente. Conclusão: os vetores normais são múltiplos um do outro somente quando
. Portanto os planos são paralelos (no sentido de terem a mesma direção normal) apenas se
.
Passo 4
Agora verifico o caso
explicitamente para ver se são planos distintos ou coincidentes. Para
as equações ficam:
Multiplicando a primeira por
obtemos
, que é exatamente a segunda. Logo, para
os planos coincidem (são o mesmo plano). Assim:
-
⇒ planos coincidentes (portanto paralelos, mas não distintos). - Para qualquer
os vetores normais não são colineares, então os planos não são paralelos.
Passo 5
Quando dois planos não são paralelos em
, eles sempre se intersectam numa reta (dois planos não paralelos se cruzam numa reta). Assim, para todo
os planos
e
têm interseção uma reta. Observação útil para avaliar alternativas: qualquer condição que implique
garante interseção por uma reta; se a condição incluir
então não podemos afirmar “necessariamente por uma reta” porque em
a interseção é o próprio plano (infinitos pontos), não uma reta.
Passo 6
Condição de perpendicularidade entre planos: acontece quando os vetores normais são ortogonais, isto é, seu produto escalar é zero. Calculo o produto escalar:
Para serem perpendiculares é preciso
, então
Portanto os planos são perpendiculares exatamente quando
.
Passo 7
Agora avalio cada alternativa com base no que já deduzi:
a. “se
então os planos
e
necessariamente se interceptam por uma reta.”
Se então
. Como mostrei, para qualquer
os vetores normais não são colineares, logo os planos se intersectam por uma reta. Conclusão: alternativa a é verdadeira.
Se
b. “se
, então os planos
e
sempre são paralelos.”
A condição necessária e suficiente para paralelismo foi . Valores como
não satisfazem
e os planos não são paralelos. Por exemplo, com
temos
e
que não são múltiplos. Logo a afirmação 'para todo
’ é falsa. Conclusão: alternativa b é falsa.
A condição necessária e suficiente para paralelismo foi
c. “se
, então os planos
e
são paralelos.”
Para vimos que os planos coincidem, e coincidentes são um caso de planos paralelos (têm a mesma normal). Então essa afirmação é verdadeira (embora seja mais forte dizer “coincidem”, afirmar “são paralelos” é correta). Conclusão: alternativa c é verdadeira.
Para
d. "
e
são perpendiculares se
."
Derivei que a condição de perpendicularidade é . Logo d é verdadeira.
Derivei que a condição de perpendicularidade é
e. “se
então os planos
e
necessariamente se interceptam por uma reta.”
O conjunto inclui
. Para
os planos coincidem, então a interseção não é uma reta; é todo o plano. Assim não é verdade que para todo
com
a interseção seja necessariamente uma reta. Portanto e é falsa (contraex.:
).
O conjunto
f. “dependendo do valor de
, os planos
e
poderíam não se interceptar.”
Em , dois planos só não se interceptam quando são paralelos e distintos. Aqui vimos que a única possibilidade de paralelismo é
, e neste caso eles não são distintos: coincidem. Logo não existe valor de
que torne os planos paralelos e distintos; portanto eles sempre têm interseção (ou uma reta quando
, ou todo o plano quando
). Assim a afirmação de que poderiam não se interceptar é falsa. Conclusão: f é falsa.
Em
Resposta
a, c, d