Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
onde
é a superfície fechada que limita o volume
,
é o vetor normal externo à superfície,
é o vetor posição e
.
Informações dadas que vamos usar: a superfície é fechada (portanto tem volume bem definido ) e a integração de superfície está na forma de
r^{5}\hat{n}dS
, isto é, um campo escalar multiplicando o elemento de área vetorial
d\vec{S}=\hat{n}dS
.
Informações dadas que vamos usar: a superfície é fechada (portanto tem volume bem definido
Passo 2
Entender o tipo de integral e qual teorema aplicar.
O integrando do lado esquerdo é um vetor porque é o elemento de área vetorial
d\vec{S}
. Um modo simples e didático de tratar essa integral vetorial é olhar componente a componente. A componente
-ésima de
é
O integrando do lado esquerdo é um vetor porque
onde
é a
-ésima componente de
. Agora aplicamos o teorema da divergência (Gauss): para qualquer campo vetorial suave
,
Para obter a componente
como uma divergência, escolha o campo vetorial
, onde
é o vetor unitário na direção
,
ou
. Então
pois
. Fazer isso para
(componentes
) nos dá o resultado vetorial recolhendo as três componentes:
Aqui eu usei explicitamente que a integral vetorial
tem componentes iguais às integrais de fluxo de
, e por isso pode ser reescrita como a integral de volume do gradiente de
.
Passo 3
Calcular o gradiente de
. Vamos usar cálculo elementar de derivadas e a regra da cadeia. Primeiro note que
As derivadas parciais de
são bem conhecidas e fáceis de derivar com a regra da cadeia:
ou em forma vetorial
Agora, aplicando a regra da cadeia a
,
Substituindo (???) obtemos
Passo 4
Voltar à integral de volume obtida no Passo 2 e inserir o gradiente calculado no Passo 3:
Pronto — chegamos exatamente à igualdade que queríamos demonstrar. A argumentação foi: interpretar
r^{5}\hat{n}dS
como componente por componente aplicando o teorema da divergência, reconhecer que isso equivale à integral do gradiente de
sobre o volume, e calcular o gradiente usando a regra da cadeia e
.