Prove que
\oiint_{S} r^{5} \hat{n} d S=\iiint_{V} 5 r^{3} \vec{r} d V

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\oiint_{S} r^{5} \hat{n}\, dS = \iiint_{V} 5 r^{3} \vec{r}\, dV,
onde S é a superfície fechada que limita o volume V, \hat{n} é o vetor normal externo à superfície, \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição e r=|\vec{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Informações dadas que vamos usar: a superfície é fechada (portanto tem volume bem definido V) e a integração de superfície está na forma de r^{5}\hat{n}dS , isto é, um campo escalar multiplicando o elemento de área vetorial d\vec{S}=\hat{n}dS .

Passo 2

Entender o tipo de integral e qual teorema aplicar.
O integrando do lado esquerdo é um vetor porque \hat{n}dS é o elemento de área vetorial d\vec{S} . Um modo simples e didático de tratar essa integral vetorial é olhar componente a componente. A componente i-ésima de \displaystyle \oiint_{S} r^{5}\hat{n}\,dS é
\oiint_{S} r^{5} n_{i}\,dS,
onde n_{i} é a i-ésima componente de \hat{n}. Agora aplicamos o teorema da divergência (Gauss): para qualquer campo vetorial suave \vec{F},
\oiint_{S} \vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Para obter a componente i como uma divergência, escolha o campo vetorial \vec{F}=r^{5}\hat{e}_{i}, onde \hat{e}_{i} é o vetor unitário na direção x, y ou z. Então
\oiint_{S} r^{5} n_{i}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\big(r^{5}\hat{e}_{i}\big)\,dV = \iiint_{V} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\big(r^{5}\big)\,dV,
pois \nabla\cdot\big(r^{5}\hat{e}_{i}\big)=\partial(r^{5})/\partial x_{i}. Fazer isso para i=1,2,3 (componentes x,y,z) nos dá o resultado vetorial recolhendo as três componentes:
\oiint_{S} r^{5}\hat{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\big(r^{5}\big)\,dV.
Aqui eu usei explicitamente que a integral vetorial \oiint_{S} r^{5}\hat{n}\,dS tem componentes iguais às integrais de fluxo de r^{5}\hat{e}_{i}, e por isso pode ser reescrita como a integral de volume do gradiente de r^{5}.

Passo 3

Calcular o gradiente de r^{5}. Vamos usar cálculo elementar de derivadas e a regra da cadeia. Primeiro note que
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
As derivadas parciais de r são bem conhecidas e fáceis de derivar com a regra da cadeia:
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\qquad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r},
ou em forma vetorial
\label{grad_r} \nabla r = \frac{\vec{r}}{r}.
Agora, aplicando a regra da cadeia a r^{5},
\nabla\big(r^{5}\big) = 5 r^{4} \nabla r.
Substituindo (???) obtemos
\nabla\big(r^{5}\big) = 5 r^{4}\,\frac{\vec{r}}{r} = 5 r^{3}\vec{r}.

Passo 4

Voltar à integral de volume obtida no Passo 2 e inserir o gradiente calculado no Passo 3:
\oiint_{S} r^{5}\hat{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\big(r^{5}\big)\,dV = \iiint_{V} 5 r^{3}\vec{r}\,dV.
Pronto — chegamos exatamente à igualdade que queríamos demonstrar. A argumentação foi: interpretar r^{5}\hat{n}dS como componente por componente aplicando o teorema da divergência, reconhecer que isso equivale à integral do gradiente de r^{5} sobre o volume, e calcular o gradiente usando a regra da cadeia e \nabla r=\vec{r}/r.

Resposta

\oiint_{S} r^{5} \hat{n}\, dS=\iiint_{V} 5 r^{3} \vec{r}\, d V

Exercícios relacionados