Calcule \iint_{S}(\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot \hat{n} d s, onde \vec{A}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}-4\right) \hat{i}+ 3 x_{1} x_{2} \hat{\imath}_{2}+\left(2 x_{1} x_{3}+x_{3}{ }^{2}\right) \hat{\imath}_{3} e S é a superfície de
  • paraboloide x_{3}=4-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) acima do plano x_{1} x_{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede o valor de \iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,ds.
  • A campo vetorial é
\vec{A}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}-4\right)\hat{i}_{1}+3x_{1}x_{2}\,\hat{i}_{2}+\left(2x_{1}x_{3}+x_{3}^{2}\right)\hat{i}_{3}.
  • A superfície S é a porção do paraboloide
x_{3}=4-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})
acima do plano coordenado x_{3}=0 (o enunciado diz “acima do plano x_{1}x_{2}”, que corresponde ao plano x_{3}=0).
  • A interseção do paraboloide com o plano x_{3}=0 será a curva de bordo C; vamos precisar dela.
  • Não há indicação explícita da orientação de \hat{n}. Irei escolher a normal com componente positiva em x_{3} (normal “para cima”) e usar a regra da mão direita para orientar a curva de bordo C (parâmetros no sentido anti-horário quando vista de cima).

Passo 2

Qual método usar e por quê — explicando a ferramenta (aula rápida sobre o teorema de Stokes):
  • Observação: a integral que aparece é uma integral de superfície do rotacional: \iint_{S}(\nabla\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,ds. Existe um teorema muito útil que relaciona essa integral de superfície com uma integral de linha sobre a fronteira C=\partial S: é o Teorema de Stokes.
  • Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui):
\iint_{S}(\nabla\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,ds=\oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r},
onde C=\partial S é a curva limite de S orientada segundo a regra da mão direita relativa à direção de \hat{n}.
  • O que isso significa concretamente:
    • Em vez de calcular o rotacional e fazer uma integral de superfície (que também é possível), podemos calcular a integral de linha de \vec{A} ao longo da curva de contorno C. Muitas vezes a integral de linha é mais simples.
    • A orientação de C é importante: se escolhermos \hat{n} apontando para cima (com componente x_{3}>0), então C deve ser percorrida no sentido anti-horário visto de cima (sentido positivo padrão).
  • Vou aplicar Stokes: encontrar C, parametrizá-la com a orientação compatível, calcular \oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}.

Passo 3

Encontrar e parametrizar a curva de contorno [C):
  • A fronteira ocorre quando o paraboloide encontra o plano x_{3}=0. Substituindo x_{3}=0 em 0=4-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) obtemos
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4,
ou seja, um círculo de raio 2 no plano x_{3}=0.
  • Parâmetros convenientes (coordenadas polares) para C com sentido anti-horário visto de cima:
\begin{cases} x_{1}(t)=2\cos t,\\[4pt] x_{2}(t)=2\sin t,\\[4pt] x_{3}(t)=0, \end{cases}\qquad t\in[0,2\pi].
Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário quando t\] aumenta, que é compatível com a escolha de \(\hat{n} para cima.]

Passo 4

Avaliar \vec{A} sobre a curva C e obter d\vec{r}:
  • Em C temos x_{3}=0, então a terceira componente de \vec{A} zera:
A_{1}=x_{1}^{2}+x_{2}-4,\qquad A_{2}=3x_{1}x_{2},\qquad A_{3}=0.
  • Substituindo a parametrização:
A_{1}(t)=\bigl(2\cos t\bigr)^{2}+2\sin t-4=4\cos^{2}t+2\sin t-4,
A_{2}(t)=3\cdot(2\cos t)\cdot(2\sin t)=12\sin t\cos t.
  • Simplificamos A_{1}(t) usando 4\cos^{2}t-4=4(\cos^{2}t-1)=-4\sin^{2}t:
A_{1}(t)=-4\sin^{2}t+2\sin t.
  • O elemento de deslocamento é
d\vec{r}=(dx_{1},dx_{2},dx_{3})= \bigl(-2\sin t,\,2\cos t,\,0\bigr)\,dt.

Passo 5

Montar a integral de linha \oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r} e simplificar a integranda:
  • O produto escalar \vec{A}\cdot d\vec{r} sobre C é
\vec{A}\cdot d\vec{r}=A_{1}(t)\,dx_{1}+A_{2}(t)\,dx_{2}.
  • Substituindo A_{1}(t),A_{2}(t) e dx_{1},dx_{2}:
\vec{A}\cdot d\vec{r}=\bigl(-4\sin^{2}t+2\sin t\bigr)\cdot(-2\sin t)\,dt + \bigl(12\sin t\cos t\bigr)\cdot(2\cos t)\,dt.
  • Expandindo termo a termo:
(-4\sin^{2}t)(-2\sin t)=8\sin^{3}t,
(2\sin t)(-2\sin t)=-4\sin^{2}t,
(12\sin t\cos t)(2\cos t)=24\sin t\cos^{2}t.
  • Somando:
\vec{A}\cdot d\vec{r}=\bigl(8\sin^{3}t-4\sin^{2}t+24\sin t\cos^{2}t\bigr)\,dt.
  • Simplificamos usando \cos^{2}t=1-\sin^{2}t:
24\sin t\cos^{2}t=24\sin t(1-\sin^{2}t)=24\sin t-24\sin^{3}t.
  • Portanto a integranda fica
8\sin^{3}t-4\sin^{2}t+24\sin t-24\sin^{3}t = -16\sin^{3}t-4\sin^{2}t+24\sin t.

Passo 6

Calcular a integral de t=0 a 2\pi:
  • A integral procurada é
\oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi}\bigl(-16\sin^{3}t-4\sin^{2}t+24\sin t\bigr)\,dt.
  • Avaliemos as parcelas separadamente.
    • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0 porque a função \sin t tem área positiva e negativa simétricas num período completo.
    • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\,dt=0. (Justificação rápida: \sin^{3}t é função ímpar em torno de t=\pi no intervalo [0,2\pi]; equivalente também usar a identidade \sin^{3}t=\tfrac{3\sin t-\sin 3t}{4} e integrar termos senóides que têm integral zero em um período inteiro.)
    • Para \sin^{2}t usamos a identidade de redução: \sin^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2},então \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt=\frac{1}{2}\left[2\pi-0\right]=\pi.
  • Usando esses resultados:
\int_{0}^{2\pi}-16\sin^{3}t\,dt=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}24\sin t\,dt=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}-4\sin^{2}t\,dt=-4\pi.
  • Somando:
\oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}=-4\pi.

Passo 7

Conclusão final pelo Teorema de Stokes:
  • Pelo Teorema de Stokes, a integral de superfície do rotacional sobre S vale exatamente a integral de linha calculada:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,ds=\oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}=-4\pi.
  • Intuição rápida: a simetria do problema faz com que os termos ímpares em x_{2} (ou seno) se anulem, sobrando apenas a contribuição constante que gera -4\pi.

Resposta

-4\pi

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