Calcule \iint_{S}(\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot \hat{n} d s, onde \vec{A}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}-4\right) \hat{i}+ 3 x_{1} x_{2} \hat{\imath}_{2}+\left(2 x_{1} x_{3}+x_{3}{ }^{2}\right) \hat{\imath}_{3} e S é a superfície de
paraboloide x_{3}=4-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) acima do plano x_{1} x_{2}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede o valor de \iint_{S}(\vec{\nabla}\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,ds.
acima do plano coordenado x_{3}=0 (o enunciado diz “acima do plano x_{1}x_{2}”, que corresponde ao plano x_{3}=0).
A interseção do paraboloide com o plano x_{3}=0 será a curva de bordo C; vamos precisar dela.
Não há indicação explícita da orientação de \hat{n}. Irei escolher a normal com componente positiva em x_{3} (normal “para cima”) e usar a regra da mão direita para orientar a curva de bordo C (parâmetros no sentido anti-horário quando vista de cima).
Passo 2
Qual método usar e por quê — explicando a ferramenta (aula rápida sobre o teorema de Stokes):
Observação: a integral que aparece é uma integral de superfície do rotacional: \iint_{S}(\nabla\times\vec{A})\cdot\hat{n}\,ds. Existe um teorema muito útil que relaciona essa integral de superfície com uma integral de linha sobre a fronteira C=\partial S: é o Teorema de Stokes.
Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui):
onde C=\partial S é a curva limite de S orientada segundo a regra da mão direita relativa à direção de \hat{n}.
O que isso significa concretamente:
Em vez de calcular o rotacional e fazer uma integral de superfície (que também é possível), podemos calcular a integral de linha de \vec{A} ao longo da curva de contorno C. Muitas vezes a integral de linha é mais simples.
A orientação de C é importante: se escolhermos \hat{n} apontando para cima (com componente x_{3}>0), então C deve ser percorrida no sentido anti-horário visto de cima (sentido positivo padrão).
Vou aplicar Stokes: encontrar C, parametrizá-la com a orientação compatível, calcular \oint_{C}\vec{A}\cdot d\vec{r}.
Passo 3
Encontrar e parametrizar a curva de contorno [C):
A fronteira ocorre quando o paraboloide encontra o plano x_{3}=0. Substituindo x_{3}=0 em 0=4-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) obtemos
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4,
ou seja, um círculo de raio 2 no plano x_{3}=0.
Parâmetros convenientes (coordenadas polares) para C com sentido anti-horário visto de cima:
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt=0 porque a função \sin t tem área positiva e negativa simétricas num período completo.
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^{3}t\,dt=0. (Justificação rápida: \sin^{3}t é função ímpar em torno de t=\pi no intervalo [0,2\pi]; equivalente também usar a identidade \sin^{3}t=\tfrac{3\sin t-\sin 3t}{4} e integrar termos senóides que têm integral zero em um período inteiro.)
Para \sin^{2}t usamos a identidade de redução:\sin^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2},então\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt=\frac{1}{2}\left[2\pi-0\right]=\pi.
Intuição rápida: a simetria do problema faz com que os termos ímpares em x_{2} (ou seno) se anulem, sobrando apenas a contribuição constante que gera -4\pi.