Admita que a derivada de segunda ordem de uma função f(x) tenha sido calculada e foi obtido como pontos de inflexão x = 2 e x = 3. A tabela a seguir apresenta os dados encontrados após análise dos intervalos: Intervalo Sinal de f’’(x) (-∞, 2) - (2, 3) + (3, ∞) - Sobre a concavidade de f(x) assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. No intervalo (-∞, 2) a função é côncava para cima.
b. No intervalo (3, ∞) a função é côncava para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a concavidade de uma função $ f(x) $ e usa a segunda derivada para identificar pontos de inflexão. A gente precisa entender como a segunda derivada indica se a função é côncava para cima ou para baixo em diferentes intervalos. Vamos usar isso para decidir qual das alternativas está correta.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a segunda derivada de uma função nos dá informação sobre a concavidade dela:
  • Se $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Se $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
No enunciado, já nos disseram os sinais da segunda derivada em diferentes intervalos:
  • Em $ (-\infty, 2) $, $ f’’(x) < 0 $ ⇒ côncava para baixo.
  • Em $ (2, 3) $, $ f’’(x) > 0 $ ⇒ côncava para cima.
  • Em $ (3, \infty) $, $ f’’(x) < 0 $ ⇒ côncava para baixo.

Passo 3

Agora, vamos analisar as alternativas:
a. No intervalo (-∞, 2) a função é côncava para cima.
Segundo a tabela, em (-∞, 2), $ f’’(x) < 0 $, o que significa que a função é côncava para baixo, não para cima. Então, essa alternativa está incorreta.
b. No intervalo f''(x) < 0 a função é côncava para cima.
Aqui, a tabela mostra que em (3, ∞), $ f’’(x) < 0 $, indicando que a função é côncava para baixo, não para cima. Portanto, essa alternativa também está incorreta.

Passo 4

Parece que nenhuma das alternativas apresentadas está correta, já que ambas afirmam que a função é côncava para cima em intervalos onde, de fato, ela é côncava para baixo.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta. Ambas afirmam que a função é côncava para cima em intervalos onde, na verdade, ela é côncava para baixo.

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