Determine a derivada parcial f(x,y) = ln(x² + y²),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ \ln(x^2 + y^2) $. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $, então aplicando a regra da cadeia:
f

Passo 3

Agora, vamos derivar $ x^2 + y^2 $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $:
x^2 + y^2

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a $ y $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Usando a mesma lógica:
y

Passo 6

Derivando $ x^2 + y^2 $ em relação a $ y $:
x^2 + y^2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial y = 1x^2 + y^2 cdot 2y = 2yx^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) $ são:
f(x, y) = ln(x^2 + y^2)

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