Determine a derivada parcial f(x,y) = ln(x² + y²),
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ \ln(x^2 + y^2) $. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $, então aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar $ x^2 + y^2 $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a $ y $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Usando a mesma lógica:
Passo 6
Derivando $ x^2 + y^2 $ em relação a $ y $:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) $ são: