Considere um movimento harmônico simples de uma particula, cuja posição é obtida por:
Para este movimento, determine a velocidade desta partícula quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento harmônico simples (MHS). A gente precisa encontrar a velocidade da partícula quando o tempo é 2 segundos. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada da posição em relação ao tempo para achar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula é dada por:
Para achar a velocidade, precisamos derivar essa função em relação ao tempo $ t $. A velocidade é a taxa de variação da posição, ou seja, $ v = \frac{dx}{dt} $.
Passo 3
Vamos derivar $ x $ em relação a $ t $. A derivada de $ \cos(u) $ é $ -\sin(u) $ multiplicada pela derivada de $ u $. Aqui, $ u = \frac{\pi}{8} \cdot t $, então $ \frac{du}{dt} = \frac{\pi}{8} $.
Então:
Passo 4
Simplificando a expressão da velocidade:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ t = 2 $ segundos na expressão da velocidade:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Resposta
A velocidade da partícula quando $ t = 2 $ segundos é $ v = -\frac{\pi \sqrt{2}}{2} $ metros por segundo.