Admita um financiamento de \mathrm{R} \ 12.000,00 a ser pago em cinco prestações mensais. A primeira parcela vence em 25 dias e as demais de 30 em 30 dias. A taxa de juros considerada na operação é deçõçãé3,2 %$. Calcule o valor das prestações e o coeficiente de financiamento antecipado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Valor do empréstimo: \mathrm{R}\$\,12.000,00.
  • Número de prestações: 5 prestações mensais iguais.
  • Vencimentos: primeira prestação em 25 dias; as demais a cada 30 dias depois disso. Logo os vencimentos (em dias a partir da data do empréstimo) são 25,\;55,\;85,\;115,\;145.
  • Taxa de juros adotada: 3{,}2\% ao mês, ou seja i=0{,}032 por mês.
  • O que se pede:
    1. Calcular o valor de cada prestação (valor mensal igual).
    2. Calcular o coeficiente de financiamento antecipado (ou seja, o coeficiente que multiplica o valor financiado para obter o valor da prestação: prestação por unidade de financiamento).
Observação importante (usarei isto ao resolver): vou trabalhar com meses comerciais de 30 dias, portanto transformo os dias em meses pela razão \text{meses} = \dfrac{\text{dias}}{30}. Não foi dada outra convenção, e essa é a mais comum em exercícios desse tipo.

Passo 2

Formulário e ideia de solução (explicação didática do método).
  • A lógica: o valor do empréstimo é igual ao valor presente das cinco prestações. Se cada prestação vale X (valor que queremos), então o empréstimo \(L = 12.000) satisfaz
L = \sum_{k=1}^{5} \frac{X}{(1+i)^{t_k}},
onde i é a taxa por mês e t_k é o tempo (em meses) até a k-ésima prestação.
  • Definições claras:
    • L = montante financiado (em reais), aqui L= \mathrm{R}\$\,12.000,00.
    • X = valor de cada prestação (o que queremos achar).
    • i = taxa de juros por mês, aqui i=0{,}032.
    • t_k = tempo em meses até a k-ésima prestação. Como usamos mês de 30 dias, t_k=\dfrac{\text{dias do vencimento}}{30}.
  • Portanto a fórmula para X é
X = \frac{L}{\displaystyle\sum_{k=1}^{5} (1+i)^{-t_k}}.
O denominador é a soma dos fatores de desconto (valores presentes de 1 real pago em cada vencimento). Essa soma é o fator que transforma uma prestação em valor presente; dividir o empréstimo por essa soma dá a prestação.

Passo 3

Calcular os tempos t_k (em meses) a partir dos dias fornecidos.
  • Vencimentos em dias: 25,\;55,\;85,\;115,\;145.
  • Convertendo para meses (dividindo por 30): t_1=\frac{25}{30}=0{,}833333\ldots,\qquad t_2=\frac{55}{30}=1{,}833333\ldots,
t_3=\frac{85}{30}=2{,}833333\ldots,\qquad t_4=\frac{115}{30}=3{,}833333\ldots,
t_5=\frac{145}{30}=4{,}833333\ldots

Passo 4

Escrever os fatores de desconto e explicar como calculá‑los (aula curta sobre o cálculo).
  • O fator de desconto para um pagamento no tempo t (meses) com taxa mensal i é
(1+i)^{-t}.
  • Aqui i=0{,}032 e 1+i=1{,}032. Para tempos fracionários (como 0{,}8333 meses) usamos a potência fracionária (1{,}032)^{-t}. Uma forma prática de calcular (1{,}032)^{-t} à mão é usar a relação
(1{,}032)^{-t}=\exp\big(-t\ln(1{,}032)\big),
e aproximar \ln(1{,}032) por uma expansão (ou numa prova aceita-se também o uso de calculadora científica; aqui eu mostro a aproximação usada).
  • Calculamos primeiro \ln(1{,}032). Usando a expansão \ln(1+x)\approx x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3} com x=0{,}032 obtemos
\ln(1{,}032)\approx 0{,}0314987.
  • Para cada t_k calculamos x_k=t_k\ln(1{,}032) e então (1{,}032)^{-t_k}\approx e^{-x_k}. Usarei a expansão de e^{-x} até a ordem x^3 para obter precisão adequada:
e^{-x}\approx 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}.

Passo 5

Calcular numericamente cada fator de desconto passo a passo (faça isso na hora da prova com uma calculadora ou com as aproximações abaixo).
  • Para t_1=0{,}833333, x_1=t_1\ln(1{,}032)\approx 0{,}0262489. Então
(1{,}032)^{-t_1}\approx e^{-x_1}\approx 0{,}9740928.
  • Para t_2=1{,}833333, x_2\approx 0{,}057752. Então
(1{,}032)^{-t_2}\approx e^{-x_2}\approx 0{,}9438843.
  • Para t_3=2{,}833333, x_3\approx 0{,}0892559. Então
(1{,}032)^{-t_3}\approx e^{-x_3}\approx 0{,}9146109.
  • Para t_4=3{,}833333, x_4\approx 0{,}120759. Então
(1{,}032)^{-t_4}\approx e^{-x_4}\approx 0{,}8862420.
  • Para t_5=4{,}833333, x_5\approx 0{,}152262. Então
(1{,}032)^{-t_5}\approx e^{-x_5}\approx 0{,}8587590.
(Notas rápidas sobre precisão: essas aproximações pelo polinômio de Taylor, com os termos que mostrei, dão precisão suficiente para fins de prova e para arredondar as prestações em centavos. Se usar calculadora, calcule diretamente (1{,}032)^{-t_k}.)

Passo 6

Somar os fatores de desconto e obter a prestação X.
  • Soma dos fatores:
S=\sum_{k=1}^{5}(1{,}032)^{-t_k}\approx 0{,}9740928+0{,}9438843+0{,}9146109+0{,}8862420+0{,}8587590.
  • Calculando a soma:
S\approx 4{,}5775890.
  • Então a prestação X é
X=\frac{L}{S}=\frac{12\,000}{4{,}5775890}\approx 2\,621{,}4675.
  • Arredondando para centavos (modo usual em valores monetários):
X\approx \mathrm{R}\$\,2\,621{,}47.

Passo 7

Calcular o coeficiente de financiamento antecipado (prestação por unidade de financiamento).
  • O coeficiente c é simplesmente
c=\frac{X}{L}=\frac{2\,621{,}4675}{12\,000}\approx 0{,}2184556.
  • Arredondando convenientemente (6 casas decimais costuma bastar):
c\approx 0{,}218456.

Passo 8

Checagem rápida (verificação): multiplicando cada prestação pelo seu fator de desconto e somando, devemos recuperar aproximadamente 12\,000.
  • Cálculo de checagem:
\sum_{k=1}^{5} \frac{X}{(1{,}032)^{t_k}} \approx X\cdot S \approx 2\,621{,}4675\times 4{,}5775890 \approx 12\,000{,}00,
confirmando que os cálculos estão coerentes (diferenças muito pequenas são apenas por arredondamento).

Resposta

\mathrm{R}\$\,2\,621{,}47
0{,}218456

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