Admita um financiamento de
12.000,00
3,2 %$. Calcule o valor das prestações e o coeficiente de financiamento antecipado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Valor do empréstimo:
. - Número de prestações:
prestações mensais iguais. - Vencimentos: primeira prestação em
dias; as demais a cada dias depois disso. Logo os vencimentos (em dias a partir da data do empréstimo) são . - Taxa de juros adotada:
ao mês, ou seja por mês. - O que se pede:
- Calcular o valor de cada prestação (valor mensal igual).
- Calcular o coeficiente de financiamento antecipado (ou seja, o coeficiente que multiplica o valor financiado para obter o valor da prestação: prestação por unidade de financiamento).
Observação importante (usarei isto ao resolver): vou trabalhar com meses comerciais de
dias, portanto transformo os dias em meses pela razão
. Não foi dada outra convenção, e essa é a mais comum em exercícios desse tipo.
Passo 2
Formulário e ideia de solução (explicação didática do método).
- A lógica: o valor do empréstimo é igual ao valor presente das cinco prestações. Se cada prestação vale
(valor que queremos), então o empréstimo = 12.000) satisfaz
onde
é a taxa por mês e
é o tempo (em meses) até a
-ésima prestação.
-
Definições claras:
-
= montante financiado (em reais), aqui . -
= valor de cada prestação (o que queremos achar). -
= taxa de juros por mês, aqui . -
= tempo em meses até a -ésima prestação. Como usamos mês de dias, .
-
-
Portanto a fórmula para
é
O denominador é a soma dos fatores de desconto (valores presentes de 1 real pago em cada vencimento). Essa soma é o fator que transforma uma prestação em valor presente; dividir o empréstimo por essa soma dá a prestação.
Passo 3
Calcular os tempos
(em meses) a partir dos dias fornecidos.
- Vencimentos em dias:
. - Convertendo para meses (dividindo por
):
Passo 4
Escrever os fatores de desconto e explicar como calculá‑los (aula curta sobre o cálculo).
- O fator de desconto para um pagamento no tempo
(meses) com taxa mensal é
- Aqui
e . Para tempos fracionários (como meses) usamos a potência fracionária . Uma forma prática de calcular à mão é usar a relação
e aproximar
por uma expansão (ou numa prova aceita-se também o uso de calculadora científica; aqui eu mostro a aproximação usada).
- Calculamos primeiro
. Usando a expansão com obtemos
- Para cada
calculamos e então . Usarei a expansão de até a ordem para obter precisão adequada:
Passo 5
Calcular numericamente cada fator de desconto passo a passo (faça isso na hora da prova com uma calculadora ou com as aproximações abaixo).
- Para
, . Então
- Para
, . Então
- Para
, . Então
- Para
, . Então
- Para
, . Então
(Notas rápidas sobre precisão: essas aproximações pelo polinômio de Taylor, com os termos que mostrei, dão precisão suficiente para fins de prova e para arredondar as prestações em centavos. Se usar calculadora, calcule diretamente
.)
Passo 6
Somar os fatores de desconto e obter a prestação
.
- Soma dos fatores:
- Calculando a soma:
- Então a prestação
é
- Arredondando para centavos (modo usual em valores monetários):
Passo 7
Calcular o coeficiente de financiamento antecipado (prestação por unidade de financiamento).
- O coeficiente
é simplesmente
- Arredondando convenientemente (6 casas decimais costuma bastar):
Passo 8
Checagem rápida (verificação): multiplicando cada prestação pelo seu fator de desconto e somando, devemos recuperar aproximadamente
.
- Cálculo de checagem:
confirmando que os cálculos estão coerentes (diferenças muito pequenas são apenas por arredondamento).