(2,0 pontos) Usando substituição, encontre a integral indefinida
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
usando substituição.
Informações dadas: a função integranda é . Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração
.
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Ideia da substituição (sem calcular ainda): quando vemos uma expressão do tipo
no denominador e ao mesmo tempo
aparece no numerador, uma substituição boa é fazer a variável
igual ao conteúdo do denominador. Assim tentamos
Agora vamos calcular
em termos de
.
Passo 3
Calcular
: derivando
em relação a
obtemos
Isso significa que
Queremos escrever
em função de
, então isolamos:
Passo 4
Substituir na integral original: trocando
por
e
por
, a integral fica
Passo 5
Integrar em
: usamos a regra do poder para integrais (para
vale
). Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora,
Passo 6
Voltar para a variável
: lembrando que
, substituímos de volta:
Acrescentamos a constante de integração
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando o resultado
temos
que coincide com a integranda, logo está correto.