(2,0 pontos) Usando substituição, encontre a integral indefinida \int \frac{e^{2 x}}{\left(e^{2 x}+2\right)^{2}} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{e^{2x}}{\left(e^{2x}+2\right)^{2}}\,dx usando substituição.
Informações dadas: a função integranda é \displaystyle \frac{e^{2x}}{\left(e^{2x}+2\right)^{2}}. Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Ideia da substituição (sem calcular ainda): quando vemos uma expressão do tipo \left(e^{2x}+2\right) no denominador e ao mesmo tempo \,e^{2x}\,dx aparece no numerador, uma substituição boa é fazer a variável u igual ao conteúdo do denominador. Assim tentamos
u = e^{2x}+2.
Agora vamos calcular du em termos de dx.

Passo 3

Calcular du: derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}+2\bigr)=2e^{2x}.
Isso significa que
du = 2e^{2x}\,dx.
Queremos escrever e^{2x}\,dx em função de du, então isolamos:
e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituir na integral original: trocando \left(e^{2x}+2\right) por u e e^{2x}\,dx por \tfrac{1}{2}\,du, a integral fica
\int \frac{e^{2x}}{\left(e^{2x}+2\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.

Passo 5

Integrar em u: usamos a regra do poder para integrais (para k\neq -1 vale \displaystyle \int u^{k}\,du=\frac{u^{k+1}}{k+1}). Aqui k=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora,
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\bigl(-u^{-1}\bigr) = -\frac{1}{2}u^{-1}.

Passo 6

Voltar para a variável x: lembrando que u=e^{2x}+2, substituímos de volta:
-\frac{1}{2}u^{-1} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e^{2x}+2}.
Acrescentamos a constante de integração C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): derivando o resultado
F(x)=-\frac{1}{2(e^{2x}+2)}
temos
F'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}+2\bigr) = -\frac{1}{2}\cdot\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{-2}\cdot 2e^{2x} = \frac{e^{2x}}{\left(e^{2x}+2\right)^{2}},
que coincide com a integranda, logo está correto.

Resposta

-\dfrac{1}{2\left(e^{2x}+2\right)}+C

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