Admita que
WN(N1)=N!N1!N2! p^N1 q^N2
seja a probabilidade de, em um total de N passos, o caminhante aleatório avançar N1 passos para a direita e N2 passos para a esquerda, com as respectivas probabilidades p e q.
A partir de f(N1) obtenha lang<= N1rang<= e lang<= N1^2rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função de probabilidade $ W_{N}(N_{1}) = \frac{N!}{N_{1}!N_{2}!} p^{N_{1}} q^{N_{2}} $, que representa a probabilidade de, em $ N $ passos, um caminhante aleatório dar $ N_{1} $ passos para a direita e $ N_{2} $ passos para a esquerda, onde $ p $ é a probabilidade de avançar para a direita e $ q $ para a esquerda. Nosso objetivo é calcular o valor esperado $ \langle N_{1} \rangle $ e o valor esperado do quadrado $ \langle N_{1}^{2} \rangle $ usando essa função de probabilidade. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente momentos de distribuições discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ \langle N_{1} \rangle $ é o valor médio esperado de passos para a direita em $ N $ tentativas. Para calcular isso, usamos a definição de valor esperado para uma variável discreta:
lang<= N1 rang<=

Passo 3

Vamos substituir $ W_{N}(N_{1}) $ na fórmula:
WN(N1)
Lembrando que $ N_{2} = N - N_{1} $, podemos reescrever a expressão:
lang<= N1 rang<= = sumN1=0^N N1 cdot N!N1!N2! p^N1 q^N2

Passo 4

Reconhecemos que a soma representa a distribuição binomial. Sabemos que para uma distribuição binomial, o valor esperado $ \langle N_{1} \rangle $ é dado por:
lang<= N1 rang<=
Isso ocorre porque, em média, em cada passo, a probabilidade de ir para a direita é $ p $, então em $ N $ passos, espera-se $ N \cdot p $ passos para a direita.

Passo 5

Agora, para encontrar $ \langle N_{1}^{2} \rangle $, usamos a definição de valor esperado para o quadrado da variável:
lang<= N1^2 rang<=
Substituindo $ W_{N}(N_{1}) $:
lang<= N1^2 rang<= = sumN1=0^N N1^2 cdot WN(N1)

Passo 6

Sabemos que para a distribuição binomial, a variância $ Var(N_{1}) $ é:
Var(N1)
E também sabemos que:
Var(N1) = N cdot p cdot q
Portanto, podemos resolver para $ \langle N_{1}^{2} \rangle $:
Var(N1) = lang<= N1^2 rang<= - lang<= N1 rang<=^2

Resposta

Então, os valores esperados são:
lang<= N1 rang<= = N cdot p
e
lang<= N1^2 rang<= = N p q + (N p)^2

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