Admita que
seja a probabilidade de, em um total de N passos, o caminhante aleatório avançar
passos para a direita e
passos para a esquerda, com as respectivas probabilidades
e
.
A partir de
obtenha
e
seja a probabilidade de, em um total de N passos, o caminhante aleatório avançar
A partir de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função de probabilidade $ W_{N}(N_{1}) = \frac{N!}{N_{1}!N_{2}!} p^{N_{1}} q^{N_{2}} $, que representa a probabilidade de, em $ N $ passos, um caminhante aleatório dar $ N_{1} $ passos para a direita e $ N_{2} $ passos para a esquerda, onde $ p $ é a probabilidade de avançar para a direita e $ q $ para a esquerda. Nosso objetivo é calcular o valor esperado $ \langle N_{1} \rangle $ e o valor esperado do quadrado $ \langle N_{1}^{2} \rangle $ usando essa função de probabilidade. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente momentos de distribuições discretas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ \langle N_{1} \rangle $ é o valor médio esperado de passos para a direita em $ N $ tentativas. Para calcular isso, usamos a definição de valor esperado para uma variável discreta:
Passo 3
Vamos substituir $ W_{N}(N_{1}) $ na fórmula:
Lembrando que $ N_{2} = N - N_{1} $, podemos reescrever a expressão:
Passo 4
Reconhecemos que a soma representa a distribuição binomial. Sabemos que para uma distribuição binomial, o valor esperado $ \langle N_{1} \rangle $ é dado por:
Isso ocorre porque, em média, em cada passo, a probabilidade de ir para a direita é $ p $, então em $ N $ passos, espera-se $ N \cdot p $ passos para a direita.
Passo 5
Agora, para encontrar $ \langle N_{1}^{2} \rangle $, usamos a definição de valor esperado para o quadrado da variável:
Substituindo $ W_{N}(N_{1}) $:
Passo 6
Sabemos que para a distribuição binomial, a variância $ Var(N_{1}) $ é:
E também sabemos que:
Portanto, podemos resolver para $ \langle N_{1}^{2} \rangle $:
Resposta
Então, os valores esperados são:
e