Admita que
seja a probabilidade de, em um total de N passos, o caminhante aleatório avançar
passos para a direita e
passos para a esquerda, com as respectivas probabilidades
e
.
Utilizando a expansão de Stirling obtenha
seja a probabilidade de, em um total de N passos, o caminhante aleatório avançar
Utilizando a expansão de Stirling obtenha
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma fórmula para a probabilidade de um caminhante aleatório dar $ N $ passos, sendo $ N_1 $ passos para a direita e $ N_2 $ passos para a esquerda, com probabilidades $ p $ e $ q $ respectivamente. A fórmula é:
Nosso objetivo é usar a expansão de Stirling para simplificar essa expressão e obter $ f(N_{1}) $. A expansão de Stirling é uma aproximação útil para calcular o fatorial de números grandes, o que vai facilitar bastante nossa resolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula de Stirling. Para números grandes, podemos aproximar o fatorial de um número $ n $ por:
Essa aproximação simplifica muito os cálculos quando $ N $ é grande.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a expansão de Stirling na expressão dada para $ W_N(N_1) $:
Substituindo os fatoriais por suas aproximações usando Stirling:
Passo 4
Substituindo essas aproximações na expressão de $ W_N(N_1) $:
Podemos simplificar essa expressão simplificando os termos de raiz e os exponenciais.
Passo 5
Simplificando as raízes:
E para os termos exponenciais:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, vamos reescrever essa expressão de forma mais compacta. Sabemos que $ N = N_{1} + N_{2} $, então podemos expressar $ \frac{NN}{N_{1}{N_{1}} N_{2}^{N_{2}}} $ como:
Além disso, podemos reorganizar os termos de probabilidade $ p^{N_{1}} q^{N_{2}} $:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de $ W_N(N_1) $:
Podemos combinar os termos exponenciais:
Passo 8
Finalmente, organizamos a expressão para obter $ f(N_{1}) $:
Resposta
Usando a expansão de Stirling, a função $ f(N_{1}) $ é aproximada por: