Admita que
WN(N1)=N!N1!N2! p^N1 q^N2
seja a probabilidade de, em um total de N passos, o caminhante aleatório avançar N1 passos para a direita e N2 passos para a esquerda, com as respectivas probabilidades p e q.
Utilizando a expansão de Stirling obtenha f(N1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma fórmula para a probabilidade de um caminhante aleatório dar $ N $ passos, sendo $ N_1 $ passos para a direita e $ N_2 $ passos para a esquerda, com probabilidades $ p $ e $ q $ respectivamente. A fórmula é:
N
Nosso objetivo é usar a expansão de Stirling para simplificar essa expressão e obter $ f(N_{1}) $. A expansão de Stirling é uma aproximação útil para calcular o fatorial de números grandes, o que vai facilitar bastante nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula de Stirling. Para números grandes, podemos aproximar o fatorial de um número $ n $ por:
n
Essa aproximação simplifica muito os cálculos quando $ N $ é grande.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a expansão de Stirling na expressão dada para $ W_N(N_1) $:
WN(N1)
Substituindo os fatoriais por suas aproximações usando Stirling:
WN(N1) = N!N1! N2! p^N1 q^N2
N! approx raiz2pi N ( Ne )^N
N1! approx raiz2pi N1 ( N1e )^N1

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão de $ W_N(N_1) $:
WN(N1)
Podemos simplificar essa expressão simplificando os termos de raiz e os exponenciais.

Passo 5

Simplificando as raízes:
raiz2pi Nraiz2pi N1 raiz2pi N2 = raizNraizN1 N2 cdot 1raiz2pi
E para os termos exponenciais:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, vamos reescrever essa expressão de forma mais compacta. Sabemos que $ N = N_{1} + N_{2} $, então podemos expressar $ \frac{NN}{N_{1}{N_{1}} N_{2}^{N_{2}}} $ como:
N = N1 + N2
Além disso, podemos reorganizar os termos de probabilidade $ p^{N_{1}} q^{N_{2}} $:
N^NN1^N1 N2^N2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de $ W_N(N_1) $:
Podemos combinar os termos exponenciais:
WN(N1)

Passo 8

Finalmente, organizamos a expressão para obter $ f(N_{1}) $:
f(N1)

Resposta

Usando a expansão de Stirling, a função $ f(N_{1}) $ é aproximada por:
f(N1)

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