Considere a sequência definida por
\left\{\begin{array}{l} a_{0}=1, \quad a_{1}=\cos \theta, \\\ a_{n+1}=2 a_{1} a_{n}-a_{n-1}, \quad \forall n \geq 2 \end{array}\right.
Sabendo que \theta é uma constante, prove que
a_{n}=\cos (n \theta), \quad \forall n \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a sequência com os dados iniciais e a relação de recorrência:
  • a_{0}=1,
  • a_{1}=\cos \theta,
  • a_{n+1}=2a_{1}a_{n}-a_{n-1}, para todo n (o enunciado indica n\ge2, o raciocínio valerá para todos os n necessários na indução).
O que se pede: provar que
a_{n}=\cos(n\theta)\quad\text{para todo }n\ge0.
Listando claramente as informações relevantes:
  • Há dois valores iniciais: a_{0} e a_{1}.
  • A recorrência envolve a_{n+1} em função de a_{n} e a_{n-1} com coeficiente 2a_{1} (que é 2\cos\theta).
  • A hipótese a provar é uma expressão explícita a_n=\cos(n\theta).

Passo 2

Vou lembrar e demonstrar a identidade trigonométrica que será crucial: a soma das fórmulas de adição e subtração para o cosseno dá
\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta.
Explicando passo a passo:
  • A fórmula de adição: \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
  • A fórmula de subtração: \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.
    Somando as duas equações as parcelas com \sin\alpha\sin\beta cancelam, restando exatamente
\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta.
Aqui, \alpha e \beta são ângulos quaisquer; a identidade vale para qualquer escolha deles.

Passo 3

Aplicando a identidade do Passo 2 com \alpha=n\theta e \beta=\theta obtemos
\cos\big((n+1)\theta\big)+\cos\big((n-1)\theta\big)=2\cos(n\theta)\cos\theta.
Rearranjando para isolar \cos\big((n+1)\theta\big)
\cos\big((n+1)\theta\big)=2\cos\theta\cos(n\theta)-\cos\big((n-1)\theta\big).
Esta fórmula mostra que a sequência definida por b_n=\cos(n\theta) satisfaz a mesma relação de recorrência do enunciado, pois o termo 2\cos\theta é precisamente 2a_1 (lembre que a_1=\cos\theta).

Passo 4

Verifico os valores iniciais para a sequência b_n=\cos(n\theta):
  • b_0=\cos(0)=1, que coincide com a_0.
  • b_1=\cos(\theta), que coincide com a_1.
Portanto b_n=\cos(n\theta) e a sequência a_n têm os mesmos dois valores iniciais e satisfazem a mesma relação de recorrência (visto no Passo 3). Agora é preciso concluir que isso implica a_n=b_n para todo n.

Passo 5

Explicação do princípio de unicidade (por que duas sequências com mesma recorrência e mesmos dois termos iniciais coincidem): considere a diferença c_n=a_n-b_n. Então, usando as recorrências de a_n e b_n,
c_{n+1}=a_{n+1}-b_{n+1}=(2a_1a_n-a_{n-1})-(2a_1b_n-b_{n-1})=2a_1(a_n-b_n)-(a_{n-1}-b_{n-1})=2a_1c_n-c_{n-1}.
Além disso c_0=a_0-b_0=0 e c_1=a_1-b_1=0. Assim c_n satisfaz a mesma recorrência com condições iniciais nulas. Pelo mesmo argumento que se usa em indução, a única sequência que satisfaz essa recorrência com c_0=c_1=0 é a sequência identicamente nula c_n\equiv0. Logo a_n-b_n=0 para todo n, ou seja a_n=b_n para todo n.
(Se preferir ver de forma direta: faça indução. Base: a_0=b_0 e a_1=b_1. Passo indutivo: suponha a_{k}=b_{k} para k=0,1,\dots,n; então pela recorrência,
a_{n+1}=2a_1a_n-a_{n-1}=2a_1b_n-b_{n-1}=b_{n+1},
onde na última igualdade usei que b_n satisfaz a mesma recorrência. Assim a_{n+1}=b_{n+1}.)

Passo 6

Concluindo: como b_n=\cos(n\theta) satisfaz a mesma recorrência e os mesmos termos iniciais que a_n, pelas observações do Passo 5 temos
a_n=\cos(n\theta)\quad\text{para todo }n\ge0.
Parabéns — essa é uma propriedade clássica: a recorrência é justamente a identidade que os cossenos satisfazem (ela aparece, por exemplo, na definição recursiva dos polinômios de Chebyshev do 1º tipo).

Resposta

a_{n}=\cos(n\theta),\quad \forall n\ge0

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