Considere a sequência definida por
Sabendo que
é uma constante, prove que
Passo 1
O enunciado dá a sequência com os dados iniciais e a relação de recorrência:
-
, -
, -
, para todo (o enunciado indica , o raciocínio valerá para todos os necessários na indução).
O que se pede: provar que
Listando claramente as informações relevantes:
- Há dois valores iniciais:
e . - A recorrência envolve
em função de e com coeficiente (que é ). - A hipótese a provar é uma expressão explícita
.
Passo 2
Vou lembrar e demonstrar a identidade trigonométrica que será crucial: a soma das fórmulas de adição e subtração para o cosseno dá
Explicando passo a passo:
- A fórmula de adição:
. - A fórmula de subtração:
.
Somando as duas equações as parcelas comcancelam, restando exatamente
Aqui,
e
são ângulos quaisquer; a identidade vale para qualquer escolha deles.
Passo 3
Aplicando a identidade do Passo 2 com
e
obtemos
Rearranjando para isolar
dá
Esta fórmula mostra que a sequência definida por
satisfaz a mesma relação de recorrência do enunciado, pois o termo
é precisamente
(lembre que
).
Passo 4
Verifico os valores iniciais para a sequência
:
-
, que coincide com . -
, que coincide com .
Portanto
e a sequência
têm os mesmos dois valores iniciais e satisfazem a mesma relação de recorrência (visto no Passo 3). Agora é preciso concluir que isso implica
para todo
.
Passo 5
Explicação do princípio de unicidade (por que duas sequências com mesma recorrência e mesmos dois termos iniciais coincidem): considere a diferença
. Então, usando as recorrências de
e
,
Além disso
e
. Assim
satisfaz a mesma recorrência com condições iniciais nulas. Pelo mesmo argumento que se usa em indução, a única sequência que satisfaz essa recorrência com
é a sequência identicamente nula
. Logo
para todo
, ou seja
para todo
.
(Se preferir ver de forma direta: faça indução. Base:
e
. Passo indutivo: suponha
para
; então pela recorrência,
onde na última igualdade usei que
satisfaz a mesma recorrência. Assim
.)
Passo 6
Concluindo: como
satisfaz a mesma recorrência e os mesmos termos iniciais que
, pelas observações do Passo 5 temos
Parabéns — essa é uma propriedade clássica: a recorrência é justamente a identidade que os cossenos satisfazem (ela aparece, por exemplo, na definição recursiva dos polinômios de Chebyshev do 1º tipo).