Verifique se a série de termos positivos dada é convergente ou divergente.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série de termos positivos
é convergente ou divergente. Informação útil que o enunciado dá:
- O termo geral é
. - A soma começa em
. - Todos os termos são não negativos (de facto positivos para
).
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): comparar
com uma série conhecida cujo comportamento é padrão e simples de usar em provas. Aqui a candidata natural é a série p
porque para grandes
o termo
tem ordem de grandeza parecida com
. Antes de comparar, lembro a ferramenta que vou usar:
Teste de comparação direta (versão que usarei): se existirem termos não negativos
para todo
a partir de um certo índice, e se
é convergente, então
também é convergente. Aqui
será algo do tipo
(ou simplesmente
).
Passo 3
Vou produzir uma desigualdade simples que relaciona o denominador com
. Para
vale
Observe que, para
,
portanto
e assim
Como a série começa em
, essa desigualdade é válida para todos os
que nos interessam.
Passo 4
Usando a desigualdade do passo anterior, para todo
obtemos
Ou seja,
para todo
.
Passo 5
Lembrando o comportamento da série p: a série
é convergente se, e somente se,
. Em particular, para
temos que
é convergente (é a conhecida série p com
).
Passo 6
Aplicando o teste de comparação direta com
: como
para todo
e
converge, a série dada tem comportamento controlado pela série
. (Alternativamente, poderia-se usar o teste da comparação-limite:
, um número finito e não nulo, que dá o mesmo resultado.)
Resposta
A série é convergente.