Verifique se a série de termos positivos dada é convergente ou divergente.
(a) \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{k}{2 k^{3}-k+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série de termos positivos
\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{k}{2 k^{3}-k+1}
é convergente ou divergente. Informação útil que o enunciado dá:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{k}{2k^{3}-k+1}.
  • A soma começa em k=2.
  • Todos os termos são não negativos (de facto positivos para k\ge2).

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): comparar a_k com uma série conhecida cujo comportamento é padrão e simples de usar em provas. Aqui a candidata natural é a série p
\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k^{2}},
porque para grandes k o termo a_k tem ordem de grandeza parecida com 1/k^{2}. Antes de comparar, lembro a ferramenta que vou usar:
Teste de comparação direta (versão que usarei): se existirem termos não negativos 0\le a_k\le b_k para todo k a partir de um certo índice, e se \sum b_k é convergente, então \sum a_k também é convergente. Aqui b_k será algo do tipo C/k^{2} (ou simplesmente 1/k^{2}).

Passo 3

Vou produzir uma desigualdade simples que relaciona o denominador com k^{3}. Para k\ge1 vale
2k^{3}-k+1 - k^{3} = k^{3}-k+1.
Observe que, para k\ge1,
k^{3}-k+1 \ge 1-1+1 = 1>0,
portanto k^{3}-k+1>0 e assim
2k^{3}-k+1 \ge k^{3}.
Como a série começa em k=2, essa desigualdade é válida para todos os k que nos interessam.

Passo 4

Usando a desigualdade do passo anterior, para todo k\ge2 obtemos
\frac{k}{2k^{3}-k+1} \le \frac{k}{k^{3}} = \frac{1}{k^{2}}.
Ou seja, 0\le a_k \le \dfrac{1}{k^{2}} para todo k\ge2.

Passo 5

Lembrando o comportamento da série p: a série
\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k^{p}}
é convergente se, e somente se, p>1. Em particular, para p=2 temos que
\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k^{2}}
é convergente (é a conhecida série p com p=2).

Passo 6

Aplicando o teste de comparação direta com b_k=\dfrac{1}{k^{2}}: como 0\le a_k\le b_k para todo k\ge2 e \sum b_k converge, a série dada tem comportamento controlado pela série \sum 1/k^{2}. (Alternativamente, poderia-se usar o teste da comparação-limite: \lim_{k\to\infty} a_k/(1/k^{2}) = \tfrac{1}{2}, um número finito e não nulo, que dá o mesmo resultado.)

Resposta

A série é convergente.

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