Admita que, para todo (x, y)
4 y partial fpartial x(x, y)-x partial fpartial y(x, y)=2
Calcule g^prime(t), sendo g(t)=f(x, y), x=2 cos t, y=sin t.

Passo 1

O enunciado dá a PDE 4ypartial fpartial x(x,y)-xpartial fpartial y(x,y)=2 e define g(t)=f(x,y) com x=2cos t e y=sin t. Vamos usar teoria de derivadas de funções compostas (regra da cadeia) e a própria PDE para achar g'(t).

Passo 2

Para começar, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de g(t)=f(x(t),y(t)) é dada por
g'(t)=partial fpartial xdxdt+partial fpartial ydydt

Passo 3

Agora calculamos dx/dt e dy/dt a partir de x=2cos t e y=sin t:
dxdt=-2sin t, dydt=cos t

Passo 4

Substituindo esses resultados em g'(t) obtemos
g'(t)=-2sin t,partial fpartial x+cos t,partial fpartial y

Passo 5

Para usar a PDE, substituímos x=2cos t e y=sin t em
4ypartial fpartial x-xpartial fpartial y=2
que fica
4sin t,partial fpartial x-2cos t,partial fpartial y=2

Passo 6

Dividindo por 2, a relação vira
2sin t,partial fpartial x-cos t,partial fpartial y=1

Passo 7

Observe que
g'(t)=-2sin t,fx+cos t,fy= -l(2sin t,fx-cos t,fyr)
e pelo resultado acima 2sin t,fx-cos t,fy=1. Portanto
g'(t)=-1

Resposta

g’(t) = -1

Exercícios relacionados