Seja
, onde
é uma função diferenciável dada. Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 1
Temos a função composta z = f(e^{-u}, u^2). O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar usar as derivadas parciais de f e as derivadas das funções internas x(u)=e^{-u} e y(u)=u^2.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, note que se definirmos x(u)=e^{-u} e y(u)=u^2, então z(u)=f(x(u),y(u)). Logo,
Aplicando a regra da cadeia para funções de duas variáveis, temos:
Aplicando a regra da cadeia para funções de duas variáveis, temos:
Passo 3
Agora calculamos as derivadas das funções internas:
Para x(u)=e^{-u},
Para x(u)=e^{-u},
Para y(u)=u^2,
Passo 4
Substituindo x(u)=e^{-u}, y(u)=u^2, x’(u) e y’(u) na expressão de dz/du e simplificando, obtemos a fórmula final.