Seja z=f(e^-u, u^2), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse d zd u em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

Temos a função composta z = f(e^{-u}, u^2). O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar usar as derivadas parciais de f e as derivadas das funções internas x(u)=e^{-u} e y(u)=u^2.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, note que se definirmos x(u)=e^{-u} e y(u)=u^2, então z(u)=f(x(u),y(u)). Logo,
Aplicando a regra da cadeia para funções de duas variáveis, temos:
dzdu=fxl(x(u),y(u)r)cdot x'(u)+fyl(x(u),y(u)r)cdot y'(u)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas das funções internas:
Para x(u)=e^{-u},
x'(u)=ddue^-u=-e^-u
Para y(u)=u^2,
y'(u)=dduu^2=2u

Passo 4

Substituindo x(u)=e^{-u}, y(u)=u^2, x’(u) e y’(u) na expressão de dz/du e simplificando, obtemos a fórmula final.

Resposta

dzdu=fxl(e^-u,u^2r)(-e^-u)+fyl(e^-u,u^2r)cdot2u

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