Seja f(x, y) diferenciável em (x0, y0), gamma(t) uma curva diferenciável em t0, cuja imagem está contida no gráfico de f. Seja gamma(t0)=(x0, y0, f(x0, y0)). Então a reta tangente a gamma no ponto gamma(t0) está contida no plano tangente ao gráfico de f no ponto gamma(t0).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável f(x,y) no ponto (x0,y0) e uma curva diferenciável gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)) cuja imagem está no gráfico de f. No ponto t0 sabemos que x(t0)=x0, y(t0)=y0 e z(t0)=f(x0,y0). Queremos provar que a reta tangente a gamma em t0 fica contida no plano tangente ao gráfico de f em (x0,y0,f(x0,y0)). Para isso vamos usar a definição de diferencial e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro vamos escrever o vetor tangente à curva em t0. Como gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)), temos
v=gamma'(t0)=l(x'(t0),,y'(t0),,z'(t0)r)

Passo 3

Como a curva está no gráfico de f, vale sempre z(t)=fl(x(t),y(t)r). Diferenciando em t0 pelo teorema da cadeia obtemos
z'(t0)=partial fpartial x(x0,y0),x'(t0)+partial fpartial y(x0,y0),y'(t0)

Passo 4

Agora, a equação do plano tangente ao gráfico de f em (x0,y0,f(x0,y0)) pode ser dada pelo vetor normal
n=l(-fx(x0,y0),,-fy(x0,y0),,1r),onde escrevemos fx=partial f/partial x e fy=partial f/partial y. Uma reta está contida num plano se e só se seu vetor diretor v for ortogonal ao normal n.

Passo 5

Vamos então calcular o produto escalar
vcdot n = x'(t0)l(-fx(x0,y0)r)+y'(t0)l(-fy(x0,y0)r)+z'(t0)cdot1

Passo 6

Substituindo o valor de z'(t0) achado acima,
vcdot n = -fx(x0,y0)x'(t0)-fy(x0,y0)y'(t0)+l(fx(x0,y0)x'(t0)+fy(x0,y0)y'(t0)r)=0

Passo 7

Como vcdot n=0, o vetor tangente v é ortogonal ao normal do plano, logo a reta tangente a gamma em t0 está contida no plano tangente ao gráfico de f.

Resposta

Mostramos que o vetor diretor da reta tangente satisfaz vcdot n=0, provando que a reta fica totalmente no plano tangente.

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