Seja
diferenciável em
uma curva diferenciável em
, cuja imagem está contida no gráfico de
. Seja
. Então a reta tangente a
no ponto
está contida no plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável
no ponto
e uma curva diferenciável
cuja imagem está no gráfico de
. No ponto
sabemos que
,
e
. Queremos provar que a reta tangente a
em
fica contida no plano tangente ao gráfico de
em
. Para isso vamos usar a definição de diferencial e a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro vamos escrever o vetor tangente à curva em
. Como
, temos
Passo 3
Como a curva está no gráfico de
, vale sempre
. Diferenciando em
pelo teorema da cadeia obtemos
Passo 4
Agora, a equação do plano tangente ao gráfico de
em
pode ser dada pelo vetor normal
Passo 5
Vamos então calcular o produto escalar
Passo 6
Substituindo o valor de
achado acima,
Passo 7
Como
, o vetor tangente
é ortogonal ao normal do plano, logo a reta tangente a
em
está contida no plano tangente ao gráfico de
.
Resposta
Mostramos que o vetor diretor da reta tangente satisfaz
, provando que a reta fica totalmente no plano tangente.