Encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada. (Lembre-se que a solução y deve ser contínua!) d yd x+y=f(x) em que f(x)=cc1, & 0 <= x <= 1 0, & x>1 e y(0)=0.

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem dydx + y = f(x) com condição inicial y(0)=0 e forçamento em degrau f(x)=1 para 0<= x<=1 e f(x)=0 para x>1. Vamos usar fator integrante e resolver em cada região para garantir continuidade de y(x).

Passo 2

Para 0<= x<=1, temos f(x)=1. A equação y' + y = 1 tem fator integrante e^x. Multiplicando, obtemos
ddxl(e^xyr) = e^x cdot 1 = e^x
Integrando,
e^xy = integral e^xdx = e^x + C implies y = 1 + Ce^-x
Usando y(0)=0: 0 = 1 + Ccdot1 C=-1. Logo
y(x)=1 - e^-x, 0<= x<=1

Passo 3

Para x>1, temos f(x)=0 e a equação homogênea y' + y = 0, cuja solução geral é y = Ke^-x. Impomos continuidade em x=1:
limxto1^-y = 1 - e^-1,
outro lado y(1^+) = Ke^-1, então
K e^-1 = 1 - e^-1 implies K = (1 - e^-1)e = e - 1
Portanto
y(x) = (e - 1)e^-x, x>1

Resposta

y(x) = 1 - e^-x, & 0 <= x <= 1, (e - 1)e^-x, & x > 1

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