1. Admita que os tubos capilares de uma árvore são cilindros uniformes de 1,5 \times 10^{-4} \mathrm{~mm} de raio. A seiva deve ser conduzida até uma altura máxima de 50 m . Se o ângulo de contato for 45^{\circ} e a tensão superficial da seiva, 0,05 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, qual a pressão mínima que deve existir nas raízes para que a seiva chegue até a altura máxima da árvore?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • raio do capilar: r=1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}. (Vou converter para metros adiante.)
    • altura máxima que a seiva deve alcançar: h=50\\ \mathrm{m}.
    • ângulo de contato: \theta=45^\circ.
    • tensão superficial da seiva: \gamma=0{,}05\\ \mathrm{N/m}.
  • Informação que o enunciado não deu explicitamente e que é necessária:
    • densidade da seiva: vou assumir \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor típico próximo ao da água). Se a seiva tiver densidade diferente, o resultado muda proporcionalmente.
    • aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O que se pede:
    • a pressão mínima que deve existir nas raízes para que a seiva chegue até h=50\\ \mathrm{m}. Interpretação: achar a pressão nas raízes em relação à pressão atmosférica (ou seja, o acréscimo \Delta P=P_{\text{raízes}}-P_{\text{atm}}í) necessária para equilibrar o peso da coluna de seiva mais o efeito da capilaridade.

Passo 2

Princípio físico e fórmula de capilaridade (aula rápida e intuitiva).
  • Quando um líquido sobe em um capilar, a superfície curva do líquido cria uma diferença de pressão entre o líquido e o gás acima devido à tensão superficial. A relação de Young–Laplace para um menisco aproximadamente cilíndrico leva, para nosso caso, à pressão no líquido imediatamente abaixo do menisco: P_{\text{líq, topo}} = P_{\text{atm}} - \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.íExplicando cada símbolo:
    • P_{\text{líq, topo}}í é a pressão do líquido logo abaixo do menisco (no topo da coluna).
    • P_{\text{atm}} é a pressão atmosférica (a pressão do ar acima do menisco).
    • \gamma é a tensão superficial do líquido.
    • \theta é o ângulo de contato entre líquido e parede do capilar (se \theta<90^\circ, \cos\theta>0 e o líquido “sobe”).
    • r é o raio do capilar.
  • Intuição do sinal: para \theta<90^\circ o menisco é côncavo e a pressão do líquido logo abaixo do menisco fica menor que P_{\text{atm}} por exatamente \dfrac{2\gamma\cos\theta}{r}.

Passo 3

Equilíbrio hidrostático entre topo e raízes.
  • A pressão nas raízes (base da coluna) deve suportar a pressão do líquido no topo mais o peso da coluna de altura h. Assim: P_{\text{raízes}} = P_{\text{líq, topo}} + \rho g h.íí
  • Substituindo a expressão do passo anterior: P_{\text{raízes}} = P_{\text{atm}} - \frac{2\gamma\cos\theta}{r} + \rho g h.í
  • A quantidade que nos interessa geralmente é a diferença em relação à pressão atmosférica: \Delta P \equiv P_{\text{raízes}} - P_{\text{atm}} = -\frac{2\gamma\cos\theta}{r} + \rho g h.íInterpretação: a tensão superficial ajuda (reduz a pressão necessária nas raízes) através do termo -\dfrac{2\gamma\cos\theta}{r}; se esse termo for menor que \rho g h, ainda será necessário uma pressão adicional positiva nas raízes igual à diferença.

Passo 4

Converter unidades e calcular os termos numericamente (passo a passo).
  • Converter o raio para metros (tudo em notação TeX): r = 1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mm} = 1{,}5\times10^{-4}\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \cos\theta: \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}70710678.
  • Calcular o termo devido à tensão superficial: \frac{2\gamma\cos\theta}{r} = \frac{2\cdot0{,}05\cdot0{,}70710678}{1{,}5\times10^{-7}} \approx 4{,}7140452\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.(ou seja, aproximadamente 4,714\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.)
  • Calcular o termo hidrostático \rho g h: \rho g h = 1000\cdot9{,}8\cdot50 = 4{,}90\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Finalmente, calcular a diferença: \Delta P = -4{,}7140452\times10^{5} + 4{,}90\times10^{5} = 1{,}85954792\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.Arredondando com três algarismos significativos: \Delta P \approx 1{,}86\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Interpretação do resultado (motivação e sentido físico).
  • Significado de \Delta P: \Delta P=P_{\text{raízes}}-P_{\text{atm}}í. O valor positivo encontrado indica que, depois de a tensão superficial já fornecer uma elevação equivalente a cerca de 4,71\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (o que corresponde a quase 48{,}1\\ \mathrm{m} de coluna), ainda falta vencer o peso total de 50\\ \mathrm{m} que exige 4,90\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Assim é preciso que a pressão nas raízes seja maior que a atmosférica em cerca de 1,86\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} para completar os 50\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais amigáveis: 1{,}86\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} = 18{,}6\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

P_{\text{raízes}}-P_{\text{atm}}\approx 1{,}86\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}í

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