- Admita que os tubos capilares de uma árvore são cilindros uniformes de
de raio. A seiva deve ser conduzida até uma altura máxima de 50 m . Se o ângulo de contato for
e a tensão superficial da seiva,
, qual a pressão mínima que deve existir nas raízes para que a seiva chegue até a altura máxima da árvore?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- raio do capilar:
. (Vou converter para metros adiante.) - altura máxima que a seiva deve alcançar:
. - ângulo de contato:
. - tensão superficial da seiva:
.
- raio do capilar:
- Informação que o enunciado não deu explicitamente e que é necessária:
- densidade da seiva: vou assumir
(valor típico próximo ao da água). Se a seiva tiver densidade diferente, o resultado muda proporcionalmente. - aceleração da gravidade:
.
- densidade da seiva: vou assumir
- O que se pede:
- a pressão mínima que deve existir nas raízes para que a seiva chegue até
. Interpretação: achar a pressão nas raízes em relação à pressão atmosférica (ou seja, o acréscimo ) necessária para equilibrar o peso da coluna de seiva mais o efeito da capilaridade.
- a pressão mínima que deve existir nas raízes para que a seiva chegue até
Passo 2
Princípio físico e fórmula de capilaridade (aula rápida e intuitiva).
- Quando um líquido sobe em um capilar, a superfície curva do líquido cria uma diferença de pressão entre o líquido e o gás acima devido à tensão superficial. A relação de Young–Laplace para um menisco aproximadamente cilíndrico leva, para nosso caso, à pressão no líquido imediatamente abaixo do menisco:
Explicando cada símbolo: -
é a pressão do líquido logo abaixo do menisco (no topo da coluna). -
é a pressão atmosférica (a pressão do ar acima do menisco). -
é a tensão superficial do líquido. -
é o ângulo de contato entre líquido e parede do capilar (se , e o líquido “sobe”). -
é o raio do capilar.
-
- Intuição do sinal: para
o menisco é côncavo e a pressão do líquido logo abaixo do menisco fica menor que por exatamente .
Passo 3
Equilíbrio hidrostático entre topo e raízes.
- A pressão nas raízes (base da coluna) deve suportar a pressão do líquido no topo mais o peso da coluna de altura
. Assim: - Substituindo a expressão do passo anterior:
- A quantidade que nos interessa geralmente é a diferença em relação à pressão atmosférica:
Interpretação: a tensão superficial ajuda (reduz a pressão necessária nas raízes) através do termo ; se esse termo for menor que , ainda será necessário uma pressão adicional positiva nas raízes igual à diferença.
Passo 4
Converter unidades e calcular os termos numericamente (passo a passo).
- Converter o raio para metros (tudo em notação TeX):
- Calcular
: - Calcular o termo devido à tensão superficial:
(ou seja, aproximadamente .) - Calcular o termo hidrostático
: - Finalmente, calcular a diferença:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 5
Interpretação do resultado (motivação e sentido físico).
- Significado de
: . O valor positivo encontrado indica que, depois de a tensão superficial já fornecer uma elevação equivalente a cerca de (o que corresponde a quase de coluna), ainda falta vencer o peso total de que exige . Assim é preciso que a pressão nas raízes seja maior que a atmosférica em cerca de para completar os . - Em unidades mais amigáveis:
.