Uma partícula descreve um movimento circular com 10,0 \mathrm{~cm} de raio. A aceleração angular fornecida à partícula é dada por \alpha(t)=1,0 t^{2}, em rad/s { }^{2} e t \in[0 \mathrm{~s}; 10 s ]. Calcule (a) a velocidade angular e (b) o número de voltas quando a aceleração angular é máxima. Neste mesmo instante, calcule (c) a velocidade e aceleração da partícula.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas concretas:
  • Raio da trajetória: r=10,0\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração angular: \alpha(t)=1,0\,t^{2} em \mathrm{rad/s^{2}}, para t\in[0\\ \mathrm{s},10\\ \mathrm{s}].
    O que é pedido:
    (a) a velocidade angular \omega no instante em que a aceleração angular é máxima;
    (b) o número de voltas (revoluções) completadas até esse instante;
    (c) nesse mesmo instante, a velocidade linear da partícula e sua aceleração (componentes e módulo).
Observação importante (assunção): o enunciado não dá velocidade angular inicial \omega(0). Vou assumir que a partícula parte do repouso, ou seja \omega(0)=0. Se \omega(0) fosse diferente, todas as integrações abaixo teriam um termo adicional \omega(0).

Passo 2

Determinar o instante em que \alpha(t) é máxima no intervalo dado.
  • A função \alpha(t)=t^{2} (coeficiente 1,0 absorvido) é crescente para t\ge 0, logo seu maior valor no intervalo [0,10] ocorre em t=10\\ \mathrm{s}.
  • Calculo de \alpha nesse instante:
\alpha(10)=1,0\cdot 10^{2}=100\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 3

Encontrar a velocidade angular \omega(t) a partir de \alpha(t).
  • Relação fundamental: a aceleração angular é a derivada da velocidade angular,
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
  • Para obter \omega(t) integra-se \alpha(t):
\omega(t)=\omega(0)+\int_{0}^{t}\alpha(t')\,dt'.
  • Usando \omega(0)=0 e \alpha(t')=t'^{2},
\omega(t)=\int_{0}^{t}t'^{2}\,dt'=\left[\frac{t'^{3}}{3}\right]_{0}^{t}=\frac{t^{3}}{3}.
  • Valor em t=10\\ \mathrm{s}:
\omega(10)=\frac{10^{3}}{3}=\frac{1000}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx333,333\\ \mathrm{rad/s}.
(Explicação rápida do passo de integração: \int t'^{2}dt' = t'^{3}/3. Isso vem da regra básica \int t'^{n}dt' = t'^{n+1}/(n+1) para n\neq -1.)

Passo 4

Calcular o número de voltas (revoluções) até t=10\\ \mathrm{s}.
  • Primeiro encontrar o deslocamento angular total \theta(t):
\theta(t)=\theta(0)+\int_{0}^{t}\omega(t')\,dt'.
Com \theta(0)=0 e \omega(t')=t'^{3}/3,
\theta(t)=\int_{0}^{t}\frac{t'^{3}}{3}\,dt'=\frac{1}{3}\left[\frac{t'^{4}}{4}\right]_{0}^{t}=\frac{t^{4}}{12}.
  • Em t=10\\ \mathrm{s}:
\theta(10)=\frac{10^{4}}{12}=\frac{10000}{12}=\frac{2500}{3}\\ \mathrm{rad}\approx833,333\\ \mathrm{rad}.
  • Converter para número de voltas N (uma volta = 2\pi rad):
N=\frac{\theta(10)}{2\pi}=\frac{2500/3}{2\pi}=\frac{1250}{3\pi}\approx132,665\\ \text{voltas}.
(Observação: contar voltas significa dividir o ângulo total em radianos por 2\pi.)

Passo 5

Calcular a velocidade linear (tangencial) da partícula no instante t=10\\ \mathrm{s}.
  • Relação entre velocidade linear v e velocidade angular \omega:
v=r\,\omega.
  • Usando r=0,10\\ \mathrm{m} e \omega(10)=1000/3\\ \mathrm{rad/s},
v(10)=0,10\cdot\frac{1000}{3}=\frac{100}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx33,333\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular as componentes da aceleração da partícula em movimento circular acelerado e o módulo total.
  • Em movimento circular com variação angular há duas componentes da aceleração linear:
    • Componente tangencial (ligada à variação do módulo da velocidade): a_{t}=r\,\alpha.
    • Componente normal (centrípeta, dirigida ao centro): a_{n}=r\,\omega^{2}.
  • Calcular a_{t} em t=10\\ \mathrm{s}:
a_{t}=r\,\alpha(10)=0,10\cdot 100=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Calcular a_{n} em t=10\\ \mathrm{s}:
a_{n}=r\,\omega(10)^{2}=0,10\cdot\left(\frac{1000}{3}\right)^{2} =0,10\cdot\frac{1\,000\,000}{9}=\frac{100000}{9}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx11111,111\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Verificação alternativa: a_{n}=v^{2}/r. Usando v=100/3, v^{2}/r=(100/3)^{2}/0,10=\dfrac{10000/9}{0,10}=\dfrac{100000}{9}, coincide.)
  • Módulo da aceleração total (resultante das duas componentes ortogonais):
a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}} =\sqrt{10^{2}+\left(\frac{100000}{9}\right)^{2}} \approx11111,116\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Observação: a_{t} é muito pequeno comparado a a_{n} aqui, por isso o módulo fica praticamente igual a a_{n}.)

Passo 7

Resumo final dos valores calculados (valores exatos e aproximações decimais úteis para a prova):
  • \alpha(10)=100\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • \omega(10)=\dfrac{1000}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx333,333\\ \mathrm{rad/s}.
  • \theta(10)=\dfrac{2500}{3}\\ \mathrm{rad}\approx833,333\\ \mathrm{rad}.
  • N=\dfrac{1250}{3\pi}\\ \text{voltas}\approx132,665\\ \text{voltas}.
  • v(10)=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx33,333\\ \mathrm{m/s}.
  • a_{t}(10)=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • a_{n}(10)=\dfrac{100000}{9}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx11111,111\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • |a|(10)=\sqrt{10^{2}+\left(\dfrac{100000}{9}\right)^{2}}\approx11111,116\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) \omega(10)=\dfrac{1000}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx333,333\\ \mathrm{rad/s}
(b) N=\dfrac{1250}{3\pi}\\ \text{voltas}\approx132,665\\ \text{voltas}
(c) v(10)=\dfrac{100}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx33,333\\ \mathrm{m/s};\\ a_{t}(10)=10\\ \mathrm{m/s^{2}};\\ a_{n}(10)=\dfrac{100000}{9}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx11111,111\\ \mathrm{m/s^{2}};\\ |a|(10)=\sqrt{10^{2}+\left(\dfrac{100000}{9}\right)^{2}}\approx11111,116\\ \mathrm{m/s^{2}}

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