Uma partícula descreve um movimento circular com
de raio. A aceleração angular fornecida à partícula é dada por
, em rad/s
e
; 10 s
. Calcule (a) a velocidade angular e (b) o número de voltas quando a aceleração angular é máxima. Neste mesmo instante, calcule (c) a velocidade e aceleração da partícula.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas concretas:
- Raio da trajetória:
. - Aceleração angular:
em , para .
O que é pedido:
(a) a velocidade angularno instante em que a aceleração angular é máxima;
(b) o número de voltas (revoluções) completadas até esse instante;
(c) nesse mesmo instante, a velocidade linear da partícula e sua aceleração (componentes e módulo).
Observação importante (assunção): o enunciado não dá velocidade angular inicial
. Vou assumir que a partícula parte do repouso, ou seja
. Se
fosse diferente, todas as integrações abaixo teriam um termo adicional
.
Passo 2
Determinar o instante em que
é máxima no intervalo dado.
- A função
(coeficiente absorvido) é crescente para , logo seu maior valor no intervalo ocorre em . - Calculo de
nesse instante:
Passo 3
Encontrar a velocidade angular
a partir de
.
- Relação fundamental: a aceleração angular é a derivada da velocidade angular,
- Para obter
integra-se :
- Usando
e ,
- Valor em
:
(Explicação rápida do passo de integração:
. Isso vem da regra básica
para
.)
Passo 4
Calcular o número de voltas (revoluções) até
.
- Primeiro encontrar o deslocamento angular total
:
Com
e
,
- Em
:
- Converter para número de voltas
(uma volta = rad):
(Observação: contar voltas significa dividir o ângulo total em radianos por
.)
Passo 5
Calcular a velocidade linear (tangencial) da partícula no instante
.
- Relação entre velocidade linear
e velocidade angular :
- Usando
e ,
Passo 6
Calcular as componentes da aceleração da partícula em movimento circular acelerado e o módulo total.
- Em movimento circular com variação angular há duas componentes da aceleração linear:
- Componente tangencial (ligada à variação do módulo da velocidade):
. - Componente normal (centrípeta, dirigida ao centro):
.
- Componente tangencial (ligada à variação do módulo da velocidade):
- Calcular
em :
- Calcular
em :
(Verificação alternativa:
. Usando
,
, coincide.)
- Módulo da aceleração total (resultante das duas componentes ortogonais):
(Observação:
é muito pequeno comparado a
aqui, por isso o módulo fica praticamente igual a
.)
Passo 7
Resumo final dos valores calculados (valores exatos e aproximações decimais úteis para a prova):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)