1. Admita que ostubos capilares de uma árvore são cilindros uniformes de 1,5 \times 10^{-4} \mathrm{~mm} de raio. A seiva deve ser conduzida até uma altura máxima de 50 m . Se o ângulo de contato for 35^{\circ} e a tensão superficial da seiva, 0,05 \mathrm{N} / \mathrm{m}, qual a pressão mínima que deve existir nas raízes para que a seiva chegue até a altura máxima da árvore?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a pressão mínima nas raízes para que a seiva chegue a 50\\ \mathrm{m}.
  • Raio dos capilares: r = 1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}.
  • Altura desejada: h = 50\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo de contato: \theta = 35^\circ.
  • Tensão superficial da seiva: \gamma = 0{,}05\\ \mathrm{N/m}.
O que se pede: a pressão mínima que deve existir nas raízes (isto é, a pressão do líquido na base, que poderá ser comparada à pressão atmosférica) para que a seiva alcance a altura h=50\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceitos úteis (explicação didática e fórmula que vamos usar).
  • A tensão superficial cria uma diferença de pressão entre o líquido e o gás em uma menisco curvo (efeito capilar). Para um menisco aproximadamente esférico em um tubo fino, a diferença de pressão entre o líquido (interno) e o gás (externo) é dada pela fórmula de Laplace adaptada ao caso cilíndrico:
\Delta P_{\text{Laplace}} = \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.
Aqui \Delta P_{\text{Laplace}} é a quantidade subtraída da pressão do gás para obter a pressão do líquido logo abaixo do menisco (no caso de menisco côncavo, \cos\theta>0 e a pressão do líquido fica menor que a do gás).
  • Equilíbrio hidrostático vertical: a pressão no pé do tubo (raízes) relaciona-se com a pressão imediatamente abaixo do menisco por
P_{\text{raízes}} = P_{\text{menisco, líquido}} + \rho g h,íí
onde \rho é a densidade da seiva e g a aceleração da gravidade. Normalmente usamos \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3} (seiva parecida com água) e g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Ligando Laplace e hidrostática: se o gás acima do menisco está à pressão atmosférica P_{\text{atm}}, então a pressão do líquido logo abaixo do menisco é
P_{\text{menisco, líquido}} = P_{\text{atm}} - \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.í
Portanto a pressão na raiz é
P_{\text{raízes}} = P_{\text{atm}} - \frac{2\gamma\cos\theta}{r} + \rho g h.í
Essa fórmula dá a pressão absoluta no pé do capilar (raízes) em função de h. Se o resultado for menor que P_{\text{atm}}, significa que as raízes estão sob tensão (pressão abaixo da atmosférica).

Passo 3

Converter unidades e listar valores numéricos usados.
  • Converter o raio para metros (peguei o valor do enunciado):
r = 1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mm} = 1{,}5\times10^{-4}\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Outros valores numéricos que usaremos:
\gamma = 0{,}05\\ \mathrm{N/m},\qquad \theta=35^\circ,\qquad \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
h=50\\ \mathrm{m},\qquad P_{\text{atm}}\approx1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{valor padrão}).ã

Passo 4

Calcular a contribuição da tensão superficial (pressão de Laplace).
  • Primeiro calcule \cos\theta:
\cos35^\circ \approx 0{,}8192.
  • Agora a diferença de pressão devida ao menisco:
\frac{2\gamma\cos\theta}{r} = \frac{2\cdot0{,}05\cdot0{,}8192}{1{,}5\times10^{-7}}\\ \mathrm{Pa}.
Calculemos passo a passo:
2\gamma\cos\theta = 2\cdot0{,}05\cdot0{,}8192 = 0{,}08192\\ \mathrm{N/m}.
\frac{0{,}08192}{1{,}5\times10^{-7}} = 5{,}4613\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
\frac{2\gamma\cos\theta}{r} \approx 5{,}46\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular a coluna hidrostática \rho g h.
\rho g h = 1000\cdot9{,}8\cdot50 = 490000\\ \mathrm{Pa} = 4{,}90\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Calcular a pressão nas raízes usando a fórmula do Passo 2.
P_{\text{raízes}} = P_{\text{atm}} - \frac{2\gamma\cos\theta}{r} + \rho g h.í
Substituindo os números:
P_{\text{raízes}} = 1{,}01\times10^{5}\\\ -\\\ 5{,}4613\times10^{5}\\\ +\\\ 4{,}90\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.í
Calcule a diferença das duas últimas parcelas:
-5{,}4613\times10^{5} + 4{,}90\times10^{5} = -0{,}5613\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} = -5{,}613\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Então
P_{\text{raízes}} = 1{,}01\times10^{5} - 5{,}613\times10^{4} \approx 4{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.í

Passo 7

Interpretação física e sinal (explicação didática).
  • Em termos de pressão relativa à atmosfera:
P_{\text{raízes}} - P_{\text{atm}} = -5{,}613\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.í
Ou seja, as raízes precisam manter uma pressão aproximadamente 5{,}61\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} abaixo da pressão atmosférica (tensão negativa) para que, com o efeito combinado de capilaridade e coluna de líquido, a seiva atinja 50\\ \mathrm{m}.
  • Em termos de pressão absoluta (tomando P_{\text{atm}}=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}), a pressão nas raízes seria aproximadamente 4{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

P_{\text{raízes}} = P_{\text{atm}} - 5{,}61\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}í (pressão relativa à atmosfera)
P_{\text{raízes}} \approx 4{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}í (pressão absoluta, tomando P_{\text{atm}}=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})

Exercícios relacionados