- Admita que ostubos capilares de uma árvore são cilindros uniformes de
de raio. A seiva deve ser conduzida até uma altura máxima de 50 m . Se o ângulo de contato for
e a tensão superficial da seiva, 0,05
, qual a pressão mínima que deve existir nas raízes para que a seiva chegue até a altura máxima da árvore?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a pressão mínima nas raízes para que a seiva chegue a
.
- Raio dos capilares:
. - Altura desejada:
. - Ângulo de contato:
. - Tensão superficial da seiva:
.
O que se pede: a pressão mínima que deve existir nas raízes (isto é, a pressão do líquido na base, que poderá ser comparada à pressão atmosférica) para que a seiva alcance a altura
.
Passo 2
Conceitos úteis (explicação didática e fórmula que vamos usar).
- A tensão superficial cria uma diferença de pressão entre o líquido e o gás em uma menisco curvo (efeito capilar). Para um menisco aproximadamente esférico em um tubo fino, a diferença de pressão entre o líquido (interno) e o gás (externo) é dada pela fórmula de Laplace adaptada ao caso cilíndrico:
Aqui
é a quantidade subtraída da pressão do gás para obter a pressão do líquido logo abaixo do menisco (no caso de menisco côncavo,
e a pressão do líquido fica menor que a do gás).
- Equilíbrio hidrostático vertical: a pressão no pé do tubo (raízes) relaciona-se com a pressão imediatamente abaixo do menisco por
onde
é a densidade da seiva e
a aceleração da gravidade. Normalmente usamos
(seiva parecida com água) e
.
- Ligando Laplace e hidrostática: se o gás acima do menisco está à pressão atmosférica
, então a pressão do líquido logo abaixo do menisco é
Portanto a pressão na raiz é
Essa fórmula dá a pressão absoluta no pé do capilar (raízes) em função de
. Se o resultado for menor que
, significa que as raízes estão sob tensão (pressão abaixo da atmosférica).
Passo 3
Converter unidades e listar valores numéricos usados.
- Converter o raio para metros (peguei o valor do enunciado):
- Outros valores numéricos que usaremos:
Passo 4
Calcular a contribuição da tensão superficial (pressão de Laplace).
- Primeiro calcule
:
- Agora a diferença de pressão devida ao menisco:
Calculemos passo a passo:
Portanto
Passo 5
Calcular a coluna hidrostática
.
Passo 6
Calcular a pressão nas raízes usando a fórmula do Passo 2.
Substituindo os números:
Calcule a diferença das duas últimas parcelas:
Então
Passo 7
Interpretação física e sinal (explicação didática).
- Em termos de pressão relativa à atmosfera:
Ou seja, as raízes precisam manter uma pressão aproximadamente
abaixo da pressão atmosférica (tensão negativa) para que, com o efeito combinado de capilaridade e coluna de líquido, a seiva atinja
.
- Em termos de pressão absoluta (tomando
), a pressão nas raízes seria aproximadamente .