Admita que a variável X tome valore 1 , 2 e 3 com probabilidades 1 / 3, 1 / 6 e 1 / 2 respectivamente.
a) Faça a tabela da função de probabilidade
b) determine \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) e \sigma(\mathrm{X}) \quad[13 / 6] \quad[29 / 36] \quad[0,89]

Passo 1

O enunciado diz que a variável aleatória X toma os valores 1, 2 e 3 com probabilidades \tfrac13, \tfrac16 e \tfrac12, respectivamente. Precisamos (a) montar a tabela da função de probabilidade de X e (b) calcular \mathrm{E}(X), \mathrm{V}(X) e \sigma(X).

Passo 2

Para a função de probabilidade basta listar cada valor de X e sua probabilidade. Verificamos que elas somam 1:
\begin{array}{c|c} x & p_X(x)\\hline 1 & \tfrac13\\\\ 2 & \tfrac16\\\\ 3 & \tfrac12 \end{array}

Passo 3

A esperança de X é
\mathrm{E}(X) =\sum_{x}x\,p_X(x) =1\cdot\tfrac13 +2\cdot\tfrac16 +3\cdot\tfrac12 =\tfrac13+\tfrac{2}{6}+ \tfrac32 =\tfrac{13}{6}.

Passo 4

Para a variância, primeiro calculamos \mathrm{E}(X^2):
\mathrm{E}(X^2) =1^2\cdot\tfrac13 +2^2\cdot\tfrac16 +3^2\cdot\tfrac12 =\tfrac13+\tfrac{4}{6}+\tfrac{9}{2} =\tfrac{11}{2}.
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\mathrm{V}(X) =\mathrm{E}(X^2)-[\mathrm{E}(X)]^2 =\tfrac{11}{2}-\Bigl(\tfrac{13}{6}\Bigr)^{\!2} =\tfrac{29}{36}.
A partir disso, o desvio-padrão é
\sigma(X) =\sqrt{\mathrm{V}(X)} =\sqrt{\tfrac{29}{36}} =\tfrac{\sqrt{29}}{6}\approx0,89.

Resposta

a)
\begin{array}{c|c} x & p_X(x)\\hline 1 & \tfrac13\\\\ 2 & \tfrac16\\\\ 3 & \tfrac12 \end{array}
b)
\mathrm{E}(X)=\tfrac{13}{6},
\mathrm{V}(X)=\tfrac{29}{36},
\sigma(X)=\tfrac{\sqrt{29}}{6}\approx0,89.

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