Sabe-se que uma moeda mostra a face cara, o quádruplo de vezes do que a face coroa, quando lançada. Esta moeda é lançada 4 vezes. Seja X: o número de caras que aparece. Determine:
a) A função de probabilidade na forma de tabela para variável V.A.D. X.
b) \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) \mathrm{e} \sigma(\mathrm{X}) \quad[3,2] \quad[0,64] \quad[0,8]
c) \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 2) \quad[0,9728]

Passo 1

O enunciado diz que uma moeda dá cara quatro vezes mais vezes do que coroa em cada lançamento. Vamos lançar essa moeda n=4 vezes e definir a v.a.d. X = número de caras. O conteúdo é distribuição binomial e precisamos achar a probabilidade de cada k\in\{0,1,2,3,4\}, depois calcular esperança, variância, desvio-padrão e finalmente \Pr(X\ge2).

Passo 2

Como cara ocorre quatro vezes mais que coroa, temos
\frac{p}{1-p} = 4
\Rightarrow p = \dfrac{4}{5},\quad q = 1-p = \dfrac{1}{5}.

Passo 3

A v.a.d. X\sim\mathrm{Bin}(n=4,p=4/5) tem
\Pr(X=k) = \binom{4}{k}\Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)^{k}\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{4-k},
para k=0,1,2,3,4. Na forma de tabela:
x 0 1 2 3 4
\Pr(X=x) \dfrac{1}{5^4}= \dfrac{1}{625}\approx0,0016
\dfrac{4\cdot4^1\cdot1^3}{5^4}=\dfrac{16}{625}\approx0,0256
\dfrac{6\cdot4^2\cdot1^2}{5^4}=\dfrac{96}{625}\approx0,1536
\dfrac{4\cdot4^3\cdot1^1}{5^4}=\dfrac{256}{625}\approx0,4096
\dfrac{4^4}{5^4}=\dfrac{256}{625}\approx0,4096

Passo 4

Para X\sim\mathrm{Bin}(4,p) valem
\mathrm{E}(X)=np = 4\cdot\frac{4}{5} = 3,2,
\mathrm{V}(X)=np(1-p)=4\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{16}{25}=0,64,
\sigma(X)=\sqrt{\mathrm{V}(X)}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}=0,8.

Passo 5

\Pr(X\ge2) = 1 - \bigl[\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\bigr] = 1 - \Bigl(\frac{1}{625}+\frac{16}{625}\Bigr) = 1 - \frac{17}{625} = \frac{608}{625} \approx 0,9728.

Resposta

a)
x 0 1 2 3 4
\Pr(X=x) 1/625\approx0,0016 16/625\approx0,0256 96/625\approx0,1536 256/625\approx0,4096 256/625\approx0,4096
b) \mathrm{E}(X)=3,2; \mathrm{V}(X)=0,64; \sigma(X)=0,8.
c) \Pr(X\ge2)\approx0,9728.

Exercícios relacionados