9- Uma urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 brancas; outra urna II tem 3 bolas vermelhas e uma branca e a urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola. Qual a probabilidade de a bola ser vermelha. ( \mathrm{R} \cong 60 \% )

Passo 1

O enunciado descreve três urnas iguais em probabilidade de escolha:
– Urna I com 2 bolas vermelhas e 3 brancas.
– Urna II com 3 bolas vermelhas e 1 branca.
– Urna III com 4 bolas vermelhas e 2 brancas.
Queremos a probabilidade de extrair uma bola vermelha. Vamos usar a lei da probabilidade total, pois primeiro escolhemos uma urna ao acaso e depois tiramos uma bola.

Passo 2

Denotando por U_i o evento "escolher a urna i" e por R o evento “tirar bola vermelha”, temos
P(R)=\sum_{i=1}^{3}P(U_i)\,P(R\mid U_i).
Como a escolha da urna é ao acaso e há 3 urnas,
P(U_i)=\frac{1}{3}\quad\text{para }i=1,2,3.

Passo 3

Calcular as probabilidades condicionais P(R\mid U_i):
P(R\mid U_1)=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5},\quad P(R\mid U_2)=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4},\quad P(R\mid U_3)=\frac{4}{4+2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 4

Multiplicamos cada P(R\mid U_i) por P(U_i)=\tfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{15},\quad \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4},\quad \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{9}.

Passo 5

Somamos as contribuições para obter P(R):
P(R)=\frac{2}{15}+\frac{1}{4}+\frac{2}{9} =\frac{24+45+40}{180} =\frac{109}{180}\approx0,606.

Resposta

A probabilidade de a bola ser vermelha é
\frac{109}{180}\approx60{,}6\%.

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