Com base na análise de vendas de uma loja de artigos para o lar, estimou-se que a procura semanal para televisões LCD de um determinado modelo segue a seguinte distribuição:
X: LCDs 1 2 3 4 5 6 7
p(x) 0,05 0.10 0.15 0.45 0.10 0.10 0.05
a) Qual a valor esperado no que diz respeito à procura semanal de televisões? [3,95]
b) Qual o desvio padrão da procura semanal de televisões? [1,4]

Passo 1

Resumindo, temos uma variável aleatória discreta X que representa a procura semanal por televisões LCD, com distribuição
\begin{array}{c|ccccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\hline p(x) & 0{,}05 & 0{,}10 & 0{,}15 & 0{,}45 & 0{,}10 & 0{,}10 & 0{,}05 \end{array}
Queremos calcular (a) o valor esperado \mathbb{E}[X] e (b) o desvio-padrão \sigma_X. Para isso vamos usar as definições de valor esperado e variância.

Passo 2

O valor esperado de uma v.a. discreta é
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x\,p(x).
Calculando termo a termo:
\mathbb{E}[X] =1\cdot0{,}05 + 2\cdot0{,}10 + 3\cdot0{,}15 + 4\cdot0{,}45 + 5\cdot0{,}10 + 6\cdot0{,}10 + 7\cdot0{,}05.
Somando:
\mathbb{E}[X] = 0{,}05 + 0{,}20 + 0{,}45 + 1{,}80 + 0{,}50 + 0{,}60 + 0{,}35 = 3{,}95.

Passo 3

Para a variância, precisamos de \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2] = \sum_{x} x^2\,p(x) =1^2\cdot0{,}05 + 2^2\cdot0{,}10 + 3^2\cdot0{,}15 + 4^2\cdot0{,}45 + 5^2\cdot0{,}10 + 6^2\cdot0{,}10 + 7^2\cdot0{,}05.
Calculando:
\mathbb{E}[X^2] = 0{,}05 + 0{,}40 + 1{,}35 + 7{,}20 + 2{,}50 + 3{,}60 + 2{,}45 = 17{,}55.

Passo 4

A variância é
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 =17{,}55 - (3{,}95)^2 =17{,}55 - 15{,}6025 =1{,}9475.

Passo 5

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{1{,}9475}\approx1{,}40.

Resposta

(a) \mathbb{E}[X]=3{,}95
(b) \sigma_X\approx1{,}4

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