Admita verdadeiro o seguinte teorema:
Se
são tais que
, então
ou então
.
Com este resultado em mente, sejam
e
números inteiros, determine todas as soluções da equação
Se
Com este resultado em mente, sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as soluções inteiras para a equação
, sabendo que se o produto de dois números inteiros é 1, então eles têm que ser ambos 1 ou ambos -1. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente sobre propriedades dos números inteiros e suas multiplicações. Vamos precisar entender como os números 1 e -1 se comportam quando multiplicados entre si para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que o teorema nos diz: se
e
são inteiros, então as únicas possibilidades são
ou
. Isso porque 1 é o único número inteiro que, multiplicado por si mesmo ou por -1, mantém o produto igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse raciocínio para três números:
,
e
. Queremos que o produto deles seja 1, ou seja,
. Como estamos lidando com três números, precisamos considerar como os sinais se combinam para resultar em um produto positivo (1).
Passo 4
Vamos pensar nos possíveis casos:
-
Todos os três números são 1:Essa é uma solução válida.
-
Dois números são -1 e um é 1:
- Se
, e : - Se
, e : - Se
, e :
Essas três combinações também são soluções válidas. - Se
Resposta
As soluções inteiras para
são:
-
, , -
, , -
, , -
, ,