Admita verdadeiro o seguinte teorema:
Se a, b in Z são tais que a b=1, então a=b=1 ou então a=b=-1.
Com este resultado em mente, sejam a, b e c números inteiros, determine todas as soluções da equação
a b c=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar todas as soluções inteiras para a equação , sabendo que se o produto de dois números inteiros é 1, então eles têm que ser ambos 1 ou ambos -1. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente sobre propriedades dos números inteiros e suas multiplicações. Vamos precisar entender como os números 1 e -1 se comportam quando multiplicados entre si para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que o teorema nos diz: se e são inteiros, então as únicas possibilidades são ou . Isso porque 1 é o único número inteiro que, multiplicado por si mesmo ou por -1, mantém o produto igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse raciocínio para três números: , e . Queremos que o produto deles seja 1, ou seja, . Como estamos lidando com três números, precisamos considerar como os sinais se combinam para resultar em um produto positivo (1).

Passo 4

Vamos pensar nos possíveis casos:
  1. Todos os três números são 1:
    1 times 1 times 1 = 1
    Essa é uma solução válida.
  2. Dois números são -1 e um é 1:
    • Se (-1) times (-1) times 1 = 1 , (-1) times 1 times (-1) = 1 e 1 times (-1) times (-1) = 1 :
    • Se , e :
    • Se , e :
    Essas três combinações também são soluções válidas.

Resposta

As soluções inteiras para são:
  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,

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