Considere a expressão E(x)=3-2 x|1-2 x|-|x|. Faça o que se pede:
Encontre os valores de x tais que E(x)<0.
Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a expressão e precisamos encontrar os valores de onde . A matéria principal aqui envolve funções com valor absoluto e inequações. Para resolver isso, vamos montar uma tabela de sinais da expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando 1 - 2x = 0 implies x = 12 e .
  • Resolviendo :
  • E para , já temos o ponto.
Então, nossos pontos críticos são e . Eles vão dividir a reta numérica em três intervalos para analisarmos.

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo separadamente:
  1. Intervalo E(x) = 3 - 2x(1 - 2x) - (-x) = 3 - 2x1 - 2x + x = 3 - 2x1 - x :
    • E(x) = 3 - 2x(1 - 2x) - x = 3 - 2x1 - 3x é positivo porque E(x) = 3 - 2x-(2x - 1) - x = 3 - 2x-3x + 1 negativo torna positivo, então .
    • é negativo, então .
    Substituindo na expressão:
    Agora, vamos verificar o sinal:
    • Numerador : positivo, já que .
    • Denominador : positivo, já que .
    Então, nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • ainda é positivo porque .
    • é positivo, então .
    Substituindo na expressão:
    Verificando o sinal:
    • Numerador : positivo.
    • Denominador : positivo, já que .
    Mas note que , então vamos considerar quando está entre e :
    • Para :
      • Denominador fica negativo.
      • Então, .
  3. Intervalo :
    • é negativo porque .
    • é positivo, então .
    Substituindo na expressão:
    Verificando o sinal:
    • Numerador : positivo se , negativo se .
    • Denominador : negativo.
    Portanto:
    • Para : .
    • Para : .

Resposta

Os valores de 0 < x < 12 e 12 < x < 32 que satisfazem 0 < x < 32 são:
Ou, combinando:

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