Admitamos que o faturamento anual das empresas baianas assume uma distribuição normal com média milhões e desvio padrão de milhões e desvio padrão de milhões. Se quisermos classificá-las segundo o porte, determine os limites de classificação, sabendo que serão denominadas “micro-empresas” aquelas 20 com menor faturamento, como “pequenas” empresas as 30 % seguintes, como “médias” empresas as 45 % seguintes e as 15 % com maior faturamento serão classificadas como “grandes”.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o faturamento anual das empresas baianas segue uma Normal com média μ = $50 milhões e desvio padrão σ = $20 milhões. A ideia é cortar essa curva em percentis pra separar 30% menores (micro), os 45% seguintes (pequenas), os 15% seguintes (médias) e os 10% maiores (grandes).
Conteúdo: distribuição Normal, tabela (ou função inversa) da Normal padrão, padronização e conversão de percentil em valor.

Passo 2

Primeiro limite: as 30% menores.
  1. Queremos z₁ tal que P(Z ≤ z₁) = 0.30, ou seja z1 = Phi^-1(0.30)approx -0.5244
    2) Convertemos pra X:
    x1 = mu + z1,sigma = 50 + (-0.5244)times20 approx 39.51 (milhões)õ

Passo 3

Segundo limite: as próximas 45% pegam até 75% acumulado.
  1. z₂ tal que P(Z ≤ z₂) = 0.30+0.45 = 0.75, então z2 = Phi^-1(0.75)approx 0.6745
    2) Valor em X:
    x2 = 50 + 0.6745times20 approx 63.49 (milhões)õ

Passo 4

Terceiro limite: mais 15% levam ao percentil 90%.
  1. z₃ tal que P(Z ≤ z₃) = 0.90, logo z3 = Phi^-1(0.90)approx 1.2816
    2) Em X:
    x3 = 50 + 1.2816times20 approx 75.63 (milhões)õ

Passo 5

Agora a gente monta os intervalos:
  • Micro-empresas: faturamento até $39.51 mi
  • Pequenas: entre $39.51 mi e $63.49 mi
  • Médias: entre $63.49 mi e $75.63 mi
  • Grandes: acima de $75.63 mi

Resposta

Limites de classificação (em milhões):
Micro: X ≤ 39.51
Pequena: 39.51 < X ≤ 63.49
Média: 63.49 < X ≤ 75.63
Grande: X > 75.63

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