Admite-se que um terço dos adultos de certa região sejam alfabetizados. Nestas condições, qual é a probabilidade de que, entre cinco adultos escolhidos ao acaso:
a) dois sejam alfabetizados e três analfabetos? ( R: 80 / 243 )
b) mais de dois sejam alfabetizados? (R: 17/81)

Passo 1

O enunciado diz que a proporção de adultos alfabetizados é p = tfrac13 e escolhemos n=5 adultos ao acaso. Sejam esses eventos independentes, então a variável aleatória X, que conta quantos são alfabetizados, segue uma distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=tfrac13. Vamos usar a fórmula
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^n-k
para responder (a) e (b).

Passo 2

Para o item (a) queremos exatamente k=2 alfabetizados e, consequentemente, 3 analfabetos. Aplicando a fórmula binomial:
P(X=2)=binom52l(tfrac13r)^2l(tfrac23r)^3

Passo 3

Calculamos cada parte:
binom52=10, l(tfrac13r)^2=tfrac19, l(tfrac23r)^3=tfrac827
Logo,
P(X=2)=10 times tfrac19times tfrac827 = tfrac80243

Passo 4

Para o item (b) queremos P(X>2), isto é, a probabilidade de termos 3, 4 ou 5 alfabetizados. É mais prático usar o complemento:
P(X>2)=1 - P(X<=2) =1 - sumk=0^2P(X=k)

Passo 5

Calculamos P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2):
P(X=0)=binom50l(tfrac13r)^0l(tfrac23r)^5 =tfrac32243, P(X=1)=binom51l(tfrac13r)^1l(tfrac23r)^4 =tfrac80243,
e já sabemos P(X=2)=tfrac80243. Somando:
P(X<=2)=tfrac32243+tfrac80243+tfrac80243 =tfrac192243
Portanto,
P(X>2)=1-tfrac192243 =tfrac51243 =tfrac1781

Resposta

(a) tfrac80243
(b) tfrac1781

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