Você trabalha no setor de risco de um banco que está analisando a carteira de empréstimos para pequenas empresas. Em um lote de 150 empréstimos, há um empréstimo “outlier” (valor atípico) de R$100.000, enquanto os demais têm valor médio de R$ 50.000 e desvio padrão de R$ 12.000. O banco quer avaliar a probabilidade de o valor total da carteira ultrapassar 10% do valor esperado sem considerar o empréstimo atípico.
a) Qual é o valor total esperado da carteira incluindo o empréstimo atípico?
b) Qual é o valor que representa acima do total esperado sem o empréstimo atípico?
c) Com base no teorema do limite central, calcule a média e a variância da distribuição da soma dos valores dos 149 empréstimos restantes (excluindo o de alto risco).
d) Qual a probabilidade de o valor total da carteira ultrapassar 10% do valor esperado sem o outlier?
e) Com base no resultado, discuta se a cooperativa deve reconsiderar a inclusão do empréstimo de alto risco no portfólio.

Passo 1

O enunciado descreve uma carteira de empréstimos, sendo empréstimo “outlier” de R$ e os outros com valor médio de R$ e desvio padrão de R$ cada. Queremos usar o Teorema do Limite Central para estimar a probabilidade de o valor total da carteira (incluindo o outlier) ultrapassar em a expectativa calculada sem o outlier. Precisamos então calcular:
. Expectativa total incluindo o outlier.
. Valor-limite vezes a expectativa sem o outlier.
. Média e variância da soma dos empréstimos restantes.
. Probabilidade via aproximação normal.
. Discussão do impacto do outlier.

Passo 2

Para o item (a), a expectativa do total incluindo o outlier é
mutotal =149times50000 + 100000 =7,450,000 + 100,000 =7,550,000

Passo 3

Para o item (b), a expectativa sem o outlier é
mu149 =149times50000 =7,450,000
Assim, 10 % acima desse valor é
1,1timesmu149 =1,1times7,450,000 =8,195,000

Passo 4

Para o item (c), a soma dos empréstimos independentes tem

Passo 5

Para (d), o total da carteira é 100,000+S149. Queremos
Pl(100000+S149>8,195,000r) =Pl(S149>8,095,000r)
Pela CLT, S149approx N(mu149,sigma^2) com sigma=raiz2,1456times10^10approx146472. Logo
Z=8,095,000-7,450,000146472approx4,40,
e
P(Z>4,40)approx3,5times10^-6

Passo 6

Para (e), essa probabilidade é praticamente zero, ou seja, mesmo incluindo o empréstimo de R$ 100000 o risco de exceder em 10% o valor esperado sem ele continua desprezível. Portanto, do ponto de vista desse critério de “excesso de 10%”, não há motivo para remover o outlier da carteira.

Resposta

(a) mutotal=7,550,000.
(b) 1,1timesmu149=8,195,000.
(c) E[S149]=7,450,000,\ Var(S149)=2,1456times10^10
(d) Papprox3,5times10^-6
(e) A probabilidade é praticamente nula, logo o outlier não aumenta significativamente o risco de ultrapassar o limite de 10%.

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