Você trabalha no setor de risco de um banco que está analisando a carteira de empréstimos para pequenas empresas. Em um lote de 150 empréstimos, há um empréstimo “outlier” (valor atípico) de R$100.000, enquanto os demais têm valor médio de R$ 50.000 e desvio padrão de R$ 12.000. O banco quer avaliar a probabilidade de o valor total da carteira ultrapassar 10% do valor esperado sem considerar o empréstimo atípico.
a) Qual é o valor total esperado da carteira incluindo o empréstimo atípico?
b) Qual é o valor que representa
acima do total esperado sem o empréstimo atípico?
c) Com base no teorema do limite central, calcule a média e a variância da distribuição da soma dos valores dos 149 empréstimos restantes (excluindo o de alto risco).
d) Qual a probabilidade de o valor total da carteira ultrapassar 10% do valor esperado sem o outlier?
e) Com base no resultado, discuta se a cooperativa deve reconsiderar a inclusão do empréstimo de alto risco no portfólio.
a) Qual é o valor total esperado da carteira incluindo o empréstimo atípico?
b) Qual é o valor que representa
c) Com base no teorema do limite central, calcule a média e a variância da distribuição da soma dos valores dos 149 empréstimos restantes (excluindo o de alto risco).
d) Qual a probabilidade de o valor total da carteira ultrapassar 10% do valor esperado sem o outlier?
e) Com base no resultado, discuta se a cooperativa deve reconsiderar a inclusão do empréstimo de alto risco no portfólio.
Passo 1
O enunciado descreve uma carteira de
empréstimos, sendo
empréstimo “outlier” de R$
e os outros
com valor médio de R$
e desvio padrão de R$
cada. Queremos usar o Teorema do Limite Central para estimar a probabilidade de o valor total da carteira (incluindo o outlier) ultrapassar em
a expectativa calculada sem o outlier. Precisamos então calcular:
. Expectativa total incluindo o outlier.
. Valor-limite
vezes a expectativa sem o outlier.
. Média e variância da soma dos
empréstimos restantes.
. Probabilidade via aproximação normal.
. Discussão do impacto do outlier.
Passo 2
Para o item (a), a expectativa do total incluindo o outlier é
Passo 3
Para o item (b), a expectativa sem o outlier é
Assim,
% acima desse valor é
Passo 4
Para o item (c), a soma
dos
empréstimos independentes tem
Passo 5
Para (d), o total da carteira é
. Queremos
Pela CLT,
com
. Logo
e
Passo 6
Para (e), essa probabilidade é praticamente zero, ou seja, mesmo incluindo o empréstimo de R$
o risco de exceder em
o valor esperado sem ele continua desprezível. Portanto, do ponto de vista desse critério de “excesso de
”, não há motivo para remover o outlier da carteira.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) \
(d)
(e) A probabilidade é praticamente nula, logo o outlier não aumenta significativamente o risco de ultrapassar o limite de .
(b)
(c)
(d)
(e) A probabilidade é praticamente nula, logo o outlier não aumenta significativamente o risco de ultrapassar o limite de