Utilizando a Equação de Navier-Stokes,
rho D vDt=-nabla P+mu(nabla^2 v)+rho g,
obtenha o perfil de velocidades definido pelo escoamento de um fluido incompressível entre duas placas verticais infinitas e paralelas. Admita que a placa da direita é mantida fixa e a da esquerda é movimentada para cima com velocidade constante e igual a v. Suponha que o escoamento é estabelecido, isotérmico e laminar. Esboce os gráficos de tensão e de velocidade e explique detalhadamente cada passo da resolução do problema.

Passo 1

Beleza, então o enunciado quer o perfil de velocidades de um fluido incompressível e laminar que escorre entre duas placas verticais paralelas e infinitas. A placa da esquerda sobe com velocidade constante e a da direita fica parada. A gente vai usar a Equação de Navier–Stokes para escoamento estacionário, isentrópico e totalmente desenvolvido. Pra isso, vamos precisar:
  1. Escolher coordenadas (vamos chamar de a direção entre as placas, de 0 a , e de a direção vertical do movimento).
  2. Escrever a NS em componentes, usando as hipóteses (steady-state, incompressível, sem aceleração convectiva).
  3. Aplicar as condições de contorno: e .

Passo 2

Escrevendo a Equação de Navier–Stokes (componente vertical) antes de simplificar:
rhoDvyDt = -partial Ppartial y + mu nabla^2 vy + rho g
Como o escoamento é estacionário e totalmente desenvolvido:
  • (nenhuma aceleração).
  • de é zero (não varia verticalmente).
    Logo sobra só a segunda derivada em .

Passo 3

A componente vertical simplifica para
0 = -dPdy + mu d^2 udx^2 + rho g,
onde dPdy = -rho g é a única componente de velocidade (na direção 0 = -(-rho g) + mu d^2 udx^2 + rho g longrightarrow 0 = mu d^2 udx^2 ).
Para o escoamento estabelecido sem acelerar, a pressão varia justamente para balancear o peso:
Substituindo isso na equação acima, vem

Passo 4

Da condição
mu d^2 udx^2 = 0
a gente integra duas vezes em d^2 udx^2=0 ;longrightarrow; dudx=C1 ;longrightarrow; u(x)=C1 x + C2, :
onde e são constantes que vamos achar pelas fronteiras.

Passo 5

As condições de contorno são:
  • na placa da esquerda ( boxedu(x) = vl(1 - xhr) ), ;
  • na placa da direita ( ), .
Aplicando:
  1. .
Logo o perfil é

Passo 6

Vamos ao gráfico e à tensão de cisalhamento:
  • Velocidade tauxy = mu,dudx = mul(-tfracvhr) = -mu,vh, cai linearmente de em até zero em .
  • A tensão é que é constante em .
Esboços (horizontal = , vertical = ou ):
  1. : reta que vai de a .
  2. : uma linha horizontal em .

Resposta

Perfil de velocidades:
u(x) = vl(1 - xhr)
Tensão de cisalhamento constante:
tauxy = -,mu,vh

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