Utilizando a Equação de Navier-Stokes,
obtenha o perfil de velocidades definido pelo escoamento de um fluido incompressível entre duas placas verticais infinitas e paralelas. Admita que a placa da direita é mantida fixa e a da esquerda é movimentada para cima com velocidade constante e igual a v. Suponha que o escoamento é estabelecido, isotérmico e laminar. Esboce os gráficos de tensão e de velocidade e explique detalhadamente cada passo da resolução do problema.
Passo 1
Beleza, então o enunciado quer o perfil de velocidades de um fluido incompressível e laminar que escorre entre duas placas verticais paralelas e infinitas. A placa da esquerda sobe com velocidade constante
e a da direita fica parada. A gente vai usar a Equação de Navier–Stokes para escoamento estacionário, isentrópico e totalmente desenvolvido. Pra isso, vamos precisar:
- Escolher coordenadas (vamos chamar de
a direção entre as placas, de 0 a , e de a direção vertical do movimento). - Escrever a NS em componentes, usando as hipóteses (steady-state, incompressível, sem aceleração convectiva).
- Aplicar as condições de contorno:
e .
Passo 2
Escrevendo a Equação de Navier–Stokes (componente vertical) antes de simplificar:
Como o escoamento é estacionário e totalmente desenvolvido:
-
(nenhuma aceleração). -
de é zero (não varia verticalmente).
Logo sobra só a segunda derivada em.
Passo 3
A componente vertical simplifica para
onde
é a única componente de velocidade (na direção
).
Para o escoamento estabelecido sem acelerar, a pressão varia justamente para balancear o peso:
Para o escoamento estabelecido sem acelerar, a pressão varia justamente para balancear o peso:
Substituindo isso na equação acima, vem
Passo 4
Da condição
a gente integra duas vezes em
:
onde
e
são constantes que vamos achar pelas fronteiras.
Passo 5
As condições de contorno são:
- na placa da esquerda (
), ; - na placa da direita (
), .
Aplicando:
-
. -
Logo o perfil é
Passo 6
Vamos ao gráfico e à tensão de cisalhamento:
- Velocidade
cai linearmente de em até zero em . - A tensão é
que é constante em .
Esboços (horizontal =
, vertical =
ou
):
-
: reta que vai de a . -
: uma linha horizontal em .
Resposta
Perfil de velocidades:
Tensão de cisalhamento constante: