Admitindo que a equaГ§ГЈo dada em cada item define y implicitamente como funГ§ГЈo de x, calcule d yd x implicitamente.
x^4+sen(y)=x^3 cdot y^2

Passo 1

O enunciado define implicitamente a função y a partir da relação
x^4 + sin(y) = x^3 y^2
Precisamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e a regra do produto para encontrar tfracdydx.

Passo 2

Diferenciando o lado esquerdo em relação a x:
ddxl(x^4r) + ddxl(sin(y)r) = 4x^3 + cos(y)dydx

Passo 3

Diferenciando o lado direito em relação a x, que é um produto x^3cdot y^2:
ddxl(x^3 y^2r) = 3x^2 y^2 + x^3 cdot 2y dydx = 3x^2 y^2 + 2x^3 y dydx

Passo 4

Agora, igualando as derivadas de ambos os lados e agrupando os termos que contêm tfracdydx:
4x^3 + cos(y)dydx = 3x^2 y^2 + 2x^3 y dydx
Passamos os termos com tfracdydx para o lado esquerdo e os demais para o direito:
cos(y)dydx - 2x^3 ydydx = 3x^2 y^2 - 4x^3

Passo 5

Fatorando tfracdydx no lado esquerdo e isolando-o, obtemos
dydx = 3x^2 y^2 - 4x^3cos(y) - 2x^3 y

Resposta

dydx = 3x^2 y^2 - 4x^3cos(y) - 2x^3 y

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