Calcule a integral múltiplas das seguintes funções na região D :
f(x, y)=2 x+y, onde D é a região delimitada por x=y^2-1, y=-1, y=2 e x=5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=2x+y sobre a região D limitada pelas curvas x=y^2-1, x=5, y=-1 e y=2. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, usando teorema de Fubini.

Passo 2

A região D é um tipo "região simples em x": para cada y fixo entre -1 e 2, x varia de x=y^2-1 até x=5. Assim temos limites de integração externos em y de -1 a 2 e internos em x de y^2-1 a 5.

Passo 3

Montamos a integral iterada conforme o teorema de Fubini:
integraly=-1^2integralx=y^2-1^5(2x+y),dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x. Usando integral(2x+y),dx = x^2 + yx, avaliamos de x=y^2-1 até x=5. O resultado é
l[5^2 + 5yr] - l[(y^2-1)^2 + y(y^2-1)r] = -y^4 - y^3 +2y^2 +6y +24

Passo 5

Agora integramos em y:
integral-1^2l(-y^4 - y^3 +2y^2 +6y +24r),dy
A antiderivada é
-tfracy^55 - tfracy^44 + tfrac2y^33 +3y^2 +24y

Passo 6

Avaliando de y=-1 a y=2 e subtraindo, obtemos
(-tfrac325-4+tfrac163+12+48)-(tfrac15-tfrac14-tfrac23+3-24)=153320

Resposta

dfrac153320

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