Admitindo que a equaГ§ГЈo dada em cada item define y implicitamente como funГ§ГЈo de x, calcule d yd x implicitamente.
e^y+x y=x^3

Passo 1

Temos a equação e^y + x,y = x^3. O conteúdo é diferenciação implícita, ou seja, para achar dydx vamos derivar ambos os lados em relação a x, aplicando a regra da cadeia sempre que aparecer y e a regra do produto em x,y.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x: a derivada de e^y é e^ycdot y', a de x,y é x,y' + y e a de x^3 é 3x^2. Assim obtemos
e^y y' + y + x y' = 3x^2

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y':
y'(e^y + x) + y = 3x^2

Passo 4

Isolando y' e dividindo por e^y + x resulta em:
y' = 3x^2 - ye^y + x

Resposta

dydx = 3x^2 - ye^y + x

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