Nos ExercГӯcios 53 e 54, determine d y / d x (considerando y como uma funГ§ГЈo derivГЎvel de x ) e d x / d y (considerando x como uma funГ§ГЈo derivГЎvel de y ). Como d y / d x e d x / d y parecem estar relacionados?
x^3+y^2=sen y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita x^3 + y^2 = sin y e pede duas coisas: primeiro dydx (tratando y como função de x) e depois dxdy (tratando x como função de y). O conteúdo principal é diferenciação implícita, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para achar dydx, derivamos ambos os lados da equação em relação a x. Usamos que ddx(x^3)=3x^2, ddx(y^2)=2ydydx e ddx(sin y)=cos ydydx:
3x^2 + 2ydydx = cos ydydx

Passo 3

Agrupando os termos que contêm dydx num lado da igualdade e isolando, fica:
3x^2 = (cos y - 2y)dydx
Portanto:
dydx = 3x^2cos y - 2y

Passo 4

Para achar dxdy, derivamos a mesma equação em relação a y. Usamos ddy(x^3)=3x^2dxdy, ddy(y^2)=2y e ddy(sin y)=cos y:
3x^2dxdy + 2y = cos y

Passo 5

Isolando dxdy, obtemos:
3x^2dxdy = cos y - 2y
Logo:
dxdy = cos y - 2y3x^2

Passo 6

Observamos que
dxdy = cos y - 2y3x^2 = gl(3x^2cos y - 2ygr)^-1 = 1dydx

Resposta

As derivadas são
dydx = 3x^2cos y - 2y,
dxdy = cos y - 2y3x^2
Elas são recíprocas, isto é, dxdy = 1/(dy/dx).

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