Calcule a integral múltiplas das seguintes funções na região D :
f(x, y)=x^2+y^2 em D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 >= 1, x^2+y^2-2 x <= 0, y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x^2+y^2 sobre a região D=(x,y):x^2+y^2>=1,,x^2+y^2-2x<=0,,y>=0. O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares e o uso de integrais múltiplas.

Passo 2

Vamos traduzir as duas condições circulares em polares. Como x=rcostheta e y=rsintheta:
x^2+y^2>=1Longrightarrow r>=1,
x^2+y^2-2x<=0Longrightarrow r^2-2rcostheta<=0Longrightarrow r<=2costheta
Além disso, y>=0 0<=theta<=pi, mas a condição r<=2costheta exige costheta>=1/2, isto é 0<=theta<=pi/3. Logo
0<=theta<=pi/3, 1<= r<=2costheta

Passo 3

Em coordenadas polares, x^2+y^2=r^2 e o elemento de área é dA=r,dr,dtheta. Assim a integral fica
integral duplaD(x^2+y^2)dA =integraltheta=0^pi/3integralr=1^2costhetar^2cdot r,dr,dtheta =integral0^pi/3integral1^2costhetar^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral1^2costhetar^3,dr =r^44|1^2costheta =(2costheta)^4-14 =4cos^4theta-14
Logo a integral torna-se
integral0^pi/3l(4cos^4theta-tfrac14r)dtheta =4integral0^pi/3cos^4theta,dtheta-14integral0^pi/3dtheta

Passo 5

Para integrar cos^4theta, usamos a identidade de redução:
cos^4theta=18l(3+4cos2theta+cos4thetar)
Então
integral0^pi/3cos^4theta,dtheta =18l[3theta+2sin2theta+tfrac14sin4thetar]0^pi/3 =18l(pi+2cdotraiz32+tfrac14cdotl(-raiz32r)r) =pi8+7raiz364
E
integral0^pi/3dtheta=pi3

Passo 6

Substituindo de volta,
4integral0^pi/3cos^4theta,dtheta-14cdotpi3 =4l(pi8+7raiz364r)-pi12 =pi2+7raiz316-pi12 =5pi12+7raiz316

Passo 7

Portanto, a integral vale 5pi12+7raiz316.

Resposta

5pi12+7raiz316

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