Admitindo que f seja uma função diferenciável, encontre uma fórmula para a derivada de g(x, y)=f(x, y)^k em (x, y), em termos da derivada de f em (x, y).

Passo 1

A questão pede para achar a derivada de g(x,y)=f(x,y)^k em termos da derivada de f. O conteúdo é a regra da cadeia para funções vetoriais, e precisaremos usar que g=phicirc f com phi(t)=t^k.

Passo 2

Para começar, considere a função escalar phi: Rto R definida por
phi(t)=t^k
Pela diferenciação de potências, sua derivada é
phi'(t)=k,t^k-1

Passo 3

Agora, como g(x,y)=phil(f(x,y)r), aplicamos a regra da cadeia para diferenciais. Se Df(x,y) é o diferencial (ou Jacobiano) de f em (x,y), então
Dg(x,y)=phi'l(f(x,y)r);Df(x,y)

Passo 4

Substituindo phi'(f(x,y))=k,f(x,y)^k-1, obtemos a fórmula final:
Dg(x,y)=k,f(x,y)^k-1;Df(x,y)
Aqui, em coordenadas, isso equivale a
partial gpartial x=k,f(x,y)^k-1partial fpartial x, partial gpartial y=k,f(x,y)^k-1partial fpartial y

Resposta

Dg(x,y)=k,f(x,y)^k-1;Df(x,y).

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