Admitindo que
seja uma função diferenciável, encontre uma fórmula para a derivada de
em
, em termos da derivada de
em
.
Passo 1
A questão pede para achar a derivada de
em termos da derivada de
. O conteúdo é a regra da cadeia para funções vetoriais, e precisaremos usar que
com
.
Passo 2
Para começar, considere a função escalar
definida por
Pela diferenciação de potências, sua derivada é
Passo 3
Agora, como
, aplicamos a regra da cadeia para diferenciais. Se
é o diferencial (ou Jacobiano) de
em
, então
Passo 4
Substituindo
, obtemos a fórmula final:
Aqui, em coordenadas, isso equivale a