f(x, y)=(x-1)^2+3(y+1)^2(x-1)^2+(y+1)^2 é contínua em (1,-1) ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente quer saber se a função $ f(x, y) = \frac{(x-1)^{2} + 3(y+1){2}}{(x-1){2} + (y+1)^{2}} $ é contínua no ponto f(x, y) = (x-1)^2 + 3(y+1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2 . Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular o limite dessa função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto f(x, y) se o limite de $ f(x, y) $ quando (a, b) se aproxima de f(x, y) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
(x, y)
Então, para verificar a continuidade de $ f(x, y) $ em (a, b), precisamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) se aproxima de f(x, y) e comparar com o valor de $ f(1, -1) $.

Passo 3

Vamos calcular o valor de $ f(1, -1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = -1 $ na função:
f(1, -1)
Aqui, encontramos uma indeterminação $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos investigar o limite para determinar o comportamento da função nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y):
(1, -1)
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por lim(x, y) to (1, -1) (x-1)^2 + 3(y+1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2 :
(x-1)^2 + (y+1)^2
Isso simplifica para:
lim(x, y) to (1, -1) (x-1)^2 + 3(y+1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2 = lim(x, y) to (1, -1) ( (x-1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2 + 3 cdot (y+1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2 )

Passo 5

Agora, observamos que os denominadores são iguais, então podemos fatorar:
= (x-1)^2 + 3(y+1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2 = (x-1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2 + 3 cdot (y+1)^2(x-1)^2 + (y+1)^2
Como (x, y) se aproxima de (1, -1), tanto $ (x-1)^{2} $ quanto $ (y+1)^{2} $ se aproximam de 0. Portanto, a fração $ \frac{(x-1){2}}{(x-1){2} + (y+1)^{2}} $ se aproxima de 0 e $ \frac{(y+1){2}}{(x-1){2} + (y+1)^{2}} $ se aproxima de 1.
Então temos:
(x-1)^2

Resposta

A função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) e o limite nesse ponto é igual a 3.

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