é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente quer saber se a função $ f(x, y) = \frac{(x-1)^{2} + 3(y+1){2}}{(x-1){2} + (y+1)^{2}} $ é contínua no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular o limite dessa função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em um ponto
se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar a continuidade de $ f(x, y) $ em
, precisamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
e comparar com o valor de $ f(1, -1) $.
Passo 3
Vamos calcular o valor de $ f(1, -1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = -1 $ na função:
Aqui, encontramos uma indeterminação $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos investigar o limite para determinar o comportamento da função nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
:
Podemos simplificar a expressão dividindo numerador e denominador por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, observamos que os denominadores são iguais, então podemos fatorar:
Como
se aproxima de
, tanto $ (x-1)^{2} $ quanto $ (y+1)^{2} $ se aproximam de 0. Portanto, a fração $ \frac{(x-1){2}}{(x-1){2} + (y+1)^{2}} $ se aproxima de 0 e $ \frac{(y+1){2}}{(x-1){2} + (y+1)^{2}} $ se aproxima de 1.
Então temos:
Resposta
A função $ f(x, y) $ é contínua no ponto
e o limite nesse ponto é igual a 3.