Considere a única região R delimitada simultaneamente pelas curvas
y=raiz3-x, y=raizx+5 e x-y=1
Determine as integrais que permitem obter a área de R por meio de integração em relação a x e em relação a y.
A seguir, responda aos itens abaixo, informando tais integrais:
a) Mediante integração em relação à variável x, a área de R pode ser calculada pela(s) seguinte(s) integral(is):

Passo 1

O enunciado pede para montar as integrais em x que dão a área da região R limitada pelas curvas y=√(3−x), y=√(x+5) e x−y=1. Vamos precisar achar os pontos de interseção, entender qual curva fica “acima” em cada subintervalo de x e então escrever A=∫(y_top−y_bot) dx.

Passo 2

Primeiro, achamos as interseções:
– Entre y=√(3−x) e y=√(x+5): igualando (ao quadrar) 3−x = x+5 ⇒ x=−1, y=2.
– Entre y=√(3−x) e x−y=1 (y=x−1): resolvendo x−1 = √(3−x) ⇒ x=2, y=1.
– Entre y=√(x+5) e x−y=1 (y=x−1): resolvendo x−1 = √(x+5) ⇒ x=4, y=3.

Passo 3

Analisando o “empilhamento” das curvas em cada intervalo de x:
– Para x∈[−1,2], √(x+5)>√(3−x), então y_top=√(x+5) e y_bot=√(3−x).
– Para x∈[2,4], √(x+5)>x−1, então y_top=√(x+5) e y_bot=(x−1).

Passo 4

Assim, a área é soma de duas integrais, quebradas em x=2. Preparamos a integral da forma A=∫_{x1}^{x2}(y_top−y_bot)dx + ∫_{x2}^{x3}(y_top−y_bot)dx.

Resposta

A = integral-1^2l(raizx+5-raiz3-xr),dx ;+ integral2^4l(raizx+5-(x-1)r),dx

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