Considere a única região
delimitada simultaneamente pelas curvas
Determine as integrais que permitem obter a área de
por meio de integração em relação a
e em relação a
.
A seguir, responda aos itens abaixo, informando tais integrais:
a) Mediante integração em relação à variável
, a área de
pode ser calculada pela(s) seguinte(s) integral(is):
A seguir, responda aos itens abaixo, informando tais integrais:
a) Mediante integração em relação à variável
Passo 1
O enunciado pede para montar as integrais em x que dão a área da região R limitada pelas curvas y=√(3−x), y=√(x+5) e x−y=1. Vamos precisar achar os pontos de interseção, entender qual curva fica “acima” em cada subintervalo de x e então escrever A=∫(y_top−y_bot) dx.
Passo 2
Primeiro, achamos as interseções:
– Entre y=√(3−x) e y=√(x+5): igualando (ao quadrar) 3−x = x+5 ⇒ x=−1, y=2.
– Entre y=√(3−x) e x−y=1 (y=x−1): resolvendo x−1 = √(3−x) ⇒ x=2, y=1.
– Entre y=√(x+5) e x−y=1 (y=x−1): resolvendo x−1 = √(x+5) ⇒ x=4, y=3.
– Entre y=√(3−x) e y=√(x+5): igualando (ao quadrar) 3−x = x+5 ⇒ x=−1, y=2.
– Entre y=√(3−x) e x−y=1 (y=x−1): resolvendo x−1 = √(3−x) ⇒ x=2, y=1.
– Entre y=√(x+5) e x−y=1 (y=x−1): resolvendo x−1 = √(x+5) ⇒ x=4, y=3.
Passo 3
Analisando o “empilhamento” das curvas em cada intervalo de x:
– Para x∈[−1,2], √(x+5)>√(3−x), então y_top=√(x+5) e y_bot=√(3−x).
– Para x∈[2,4], √(x+5)>x−1, então y_top=√(x+5) e y_bot=(x−1).
– Para x∈[−1,2], √(x+5)>√(3−x), então y_top=√(x+5) e y_bot=√(3−x).
– Para x∈[2,4], √(x+5)>x−1, então y_top=√(x+5) e y_bot=(x−1).
Passo 4
Assim, a área é soma de duas integrais, quebradas em x=2. Preparamos a integral da forma A=∫_{x1}^{x2}(y_top−y_bot)dx + ∫_{x2}^{x3}(y_top−y_bot)dx.