Admitindo um fluido cuja densidade cresce linearmente com a profundidade \rho=k h, onde k é uma constante. Encontre o valor de k para o caso do fluido encerrado em um recipiente cilíndrico de raio 3 cm e altura 20 cm , cuja massa total do sistema é 70 g .
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a constante k da densidade do fluido, sabendo que a densidade cresce linearmente com a profundidade segundo \rho = k h. Dados importantes fornecidos: \,r=3\\ \text{cm} (raio do cilindro), \,H=20\\ \text{cm} (altura do fluido), \,m_{\text{total}}=70\\ \text{g} (massa total do fluido no recipiente).
Pergunta explícita: determinar o valor de k que faz a massa total do fluido ser \,70\\ \text{g}.
Passo 2
Escolhemos um eixo vertical h medindo a profundidade a partir da superfície do fluido (topo) para baixo, de modo que h=0 no topo e h=20\\ \text{cm} no fundo. A densidade em profundidade h é dada por \rho(h)=k\,h. Aqui \rho(h) tem unidades de \text{g/cm}^3 e k terá unidades de \text{g/cm}^4 (porque divide por uma distância).
Passo 3
Vamos decompor o cilindro em lâminas horizontais muito finas. Cada lâmina, localizada à profundidade h e com espessura diferencial \mathrm{d}h, tem volume igual à área da seção transversal vezes a espessura: