Admitindo um fluido cuja densidade cresce linearmente com a profundidade \rho=k h, onde k é uma constante. Encontre o valor de k para o caso do fluido encerrado em um recipiente cilíndrico de raio 3 cm e altura 20 cm , cuja massa total do sistema é 70 g .

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a constante k da densidade do fluido, sabendo que a densidade cresce linearmente com a profundidade segundo \rho = k h. Dados importantes fornecidos:
\,r=3\\ \text{cm} (raio do cilindro), \,H=20\\ \text{cm} (altura do fluido), \,m_{\text{total}}=70\\ \text{g} (massa total do fluido no recipiente).
Pergunta explícita: determinar o valor de k que faz a massa total do fluido ser \,70\\ \text{g}.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical h medindo a profundidade a partir da superfície do fluido (topo) para baixo, de modo que h=0 no topo e h=20\\ \text{cm} no fundo. A densidade em profundidade h é dada por \rho(h)=k\,h. Aqui \rho(h) tem unidades de \text{g/cm}^3 e k terá unidades de \text{g/cm}^4 (porque divide por uma distância).

Passo 3

Vamos decompor o cilindro em lâminas horizontais muito finas. Cada lâmina, localizada à profundidade h e com espessura diferencial \mathrm{d}h, tem volume igual à área da seção transversal vezes a espessura:
A=\pi r^2=\pi\cdot 3^2=9\pi\\ \text{cm}^2.
Portanto o volume de uma lâmina é
\mathrm{d}V = A\,\mathrm{d}h = 9\pi\,\mathrm{d}h.

Passo 4

A massa dessa lâmina é densidade vezes volume:
\mathrm{d}m = \rho(h)\,\mathrm{d}V = (k\,h)\cdot 9\pi\,\mathrm{d}h = 9\pi k\,h\,\mathrm{d}h.
A massa total do fluido é a soma (integral) das massas de todas as lâminas desde h=0 até h=20\\ \text{cm}:
m = \int_{0}^{20} \mathrm{d}m = \int_{0}^{20} 9\pi k\,h\,\mathrm{d}h.

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo. Extraindo constantes fora da integral:
m = 9\pi k \int_{0}^{20} h\,\mathrm{d}h.
Usamos a fórmula básica da integral de uma potência: \displaystyle \int h\,\mathrm{d}h = \frac{h^2}{2}. Aplicando os limites de 0 a 20:
\int_{0}^{20} h\,\mathrm{d}h = \left.\frac{h^2}{2}\right|_{0}^{20} = \frac{20^2}{2} = \frac{400}{2} = 200.
Substituindo de volta:
m = 9\pi k \cdot 200 = 1800\pi\,k.

Passo 6

Igualamos essa expressão ao valor da massa fornecido pelo enunciado, \,m=70\\ \text{g}. Assim obtemos a equação que relaciona k à massa conhecida:
1800\pi\,k = 70.
Agora isolamos k (dividindo ambos os lados por 1800\pi) e apresento o valor final na seção de resposta.

Resposta

k = \frac{70}{1800\pi}\\ \mathrm{g\,cm^{-4}}
k \approx 0,01238\\ \mathrm{g\,cm^{-4}}

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