Um recipiente cúbico, cuja diagonal é 10 m , contém um fluido homogêneo de densidade 1,2 g / l. Admitindo que a parte superior do recipiente é aberta, calcule a pressão em um dos vertíces do fundo do recipiente.

Passo 1

Vamos esclarecer o que o enunciado pede e quais dados temos. Pergunta: calcular a pressão em um dos vértices do fundo do recipiente, sabendo que a parte superior está aberta. Dados fornecidos:
  • A diagonal espacial do cubo vale \,10\\ \text{m}.
  • A densidade do fluido é \,1,2\\ \text{g/L}.
  • O recipiente é cúbico e está cheio (presumo que o fluido preenche até a borda aberta).
    Vou usar esses dados para achar a altura da coluna de fluido acima do vértice do fundo e então calcular a pressão nesse ponto.

Passo 2

Converter a densidade para unidades do Sistema Internacional (SI), para usar em \rho g h. Lembrete de conversão:
1\\ \text{g} = 10^{-3}\\ \text{kg},\qquad 1\\ \text{L} = 10^{-3}\\ \text{m}^3.
Assim
\rho = 1,2\\ \text{g/L} = \frac{1,2\times 10^{-3}\\ \text{kg}}{10^{-3}\\ \text{m}^3}=1,2\\ \text{kg/m}^3.
Portanto usaremos \rho = 1,2\\ \text{kg/m}^3.

Passo 3

Determinar a aresta a do cubo a partir da diagonal espacial. Fórmula da diagonal de um cubo de aresta a:
\text{diagonal} = a\sqrt{3}.
Como a diagonal vale \,10\\ \text{m},
a\sqrt{3}=10 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{10}{\sqrt{3}}\\ \text{m}.
Essa aresta a é a altura h da coluna de fluido acima de um vértice do fundo (vértice do fundo está no nível inferior do cubo), então
h=\frac{10}{\sqrt{3}}\\ \text{m}.

Passo 4

Apresentar a fórmula da pressão em um ponto submerso com superfície livre exposta à atmosfera. A pressão absoluta no fundo é a soma da pressão atmosférica sobre a superfície livre e da pressão hidrostática devido à coluna de fluido:
p = p_0 + \rho g h,
onde
  • p é a pressão absoluta no ponto pedido (Pa),
  • p_0 é a pressão atmosférica na superfície livre (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido \,(\text{kg/m}^3),
  • g é a aceleração da gravidade \,(\text{m/s}^2) — usaremos g=9,81\\ \text{m/s}^2,
  • h é a profundidade/altura da coluna de fluido acima do ponto (m).
Observação: como o enunciado diz que a parte superior é aberta, a superfície está à pressão atmosférica p_0. Normalmente p_0\approx101325\\ \text{Pa}.

Passo 5

Calcular a contribuição hidrostática \rho g h. Substituindo \rho=1,2\\ \text{kg/m}^3, g=9,81\\ \text{m/s}^2 e h=10/\sqrt{3}\\ \text{m}:
\rho g h = 1,2\cdot 9,81 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}}\\ \text{Pa}.
Primeiro calcule 1,2\cdot 9,81 = 11,772. Então
\rho g h = \frac{11,772\cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{117,72}{\sqrt{3}}\\ \text{Pa}.
Usando \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,5773502692, temos
\rho g h \approx 117,72\times 0,5773502692 \approx 67,966\\ \text{Pa}.
Arredondando de forma razoável: \rho g h \approx 67,97\\ \text{Pa}. (Isso é a pressão manométrica — a pressão exercida apenas pelo fluido.)

Passo 6

Somar a pressão atmosférica para obter a pressão absoluta no vértice do fundo. Tomando p_0=101325\\ \text{Pa},
p = p_0 + \rho g h \approx 101325 + 67,966 \approx 101392,966\\ \text{Pa}.
Arredondando para três algarismos significativos:
p \approx 1,01393\times 10^{5}\\ \text{Pa}\quad\text{ou}\quad p \approx 101393\\ \text{Pa}.

Passo 7

Resumo didático rápido (para a prova): encontre a aresta do cubo usando a= diagonal /\sqrt{3}, converta densidade para \text{kg/m}^3, use p=p_0+\rho g h com h=a. Se o enunciado não mencionar atmosfera, verifique se pedem pressão manométrica (aqui é \rho g h) ou absoluta (aqui é p_0+\rho g h). Você já tem ambas e pode escrever a que o enunciado pedir.

Resposta

Pressão manométrica (devida só ao fluido): \displaystyle 67,97\\ \text{Pa}.\n
Pressão absoluta no vértice do fundo: \displaystyle 101393\\ \text{Pa} \\ (\approx 1,01393\times10^{5}\\ \text{Pa}).

Exercícios relacionados