Admitindo-se uma mistura contendo 2,00 \mathrm{~g} de AgCl e 1,00 \mathrm{~g} de AgBr , calcule:
a) A concentração mínima de \mathrm{NH}_{3} necessária para dissolver todo o AgCl , em 200 mL de solução. (15 pontos)
b) Qual percentual do AgBr é dissolvido nessas condições? ( 15 pontos)
Dados: \mathrm{MM}_{\mathrm{AgCl}}=142,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, \mathrm{MM}_{\mathrm{AgBr}}=187,8 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; Constantes \mathrm{Ag}-\mathrm{NH}_{3}: \mathrm{Kf}_{1}=2,0 \times 10^{3} e \mathrm{Kf}_{2}=7,9 \times 10^{3} \mathrm{Kps}{ }_{\mathrm{AgCl}}=1,8 \times 10^{-10} ; \mathrm{Kps}_{\mathrm{AgBr}}=5,3 \times 10^{-13}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com a mistura inicial de 2,00\\ \mathrm{g} de AgCl e 1,00\\ \mathrm{g} de AgBr em 200\\ \mathrm{mL} de solução:
  • (a) A concentração mínima de \mathrm{NH}_3 necessária para dissolver todo o AgCl.
  • (b) Sob essas condições, que percentual (fração em %) do AgBr é dissolvido?
Dados fornecidos (vou listá-los explicitamente):
\begin{aligned} &\mathrm{MM}_{\mathrm{AgCl}}=142{,}5\\ \mathrm{g\;mol^{-1}},\qquad \mathrm{MM}_{\mathrm{AgBr}}=187{,}8\\ \mathrm{g\;mol^{-1}},\\\ &K_{f1}=2{,}0\times10^{3},\qquad K_{f2}=7{,}9\times10^{3},\qquad K_{sp\,\mathrm{AgCl}}=1{,}8\times10^{-10},\\\ &K_{sp\,\mathrm{AgBr}}=5{,}3\times10^{-13},\qquad V=200\\ \mathrm{mL}=0{,}200\\ \mathrm{L}. \end{aligned}

Passo 2

Conceitos essenciais e estratégia (explicando passo a passo o que vamos usar):
  • Quando AgCl sólido se dissolve, forma-se \mathrm{Ag}^+ e \mathrm{Cl}^-. A solubilidade é controlada por K_{sp}(\mathrm{AgCl})=[\mathrm{Ag}^+][\mathrm{Cl}^-].
  • A adição de \mathrm{NH}_3 complexa o \mathrm{Ag}^+, reduzindo a concentração livre [\mathrm{Ag}^+] e, assim, aumentando a quantidade de AgCl que pode se dissolver.
  • As constantes dadas indicam as duas etapas de complexação: \begin{aligned} &\mathrm{Ag}^+ + \mathrm{NH}_3 \rightleftharpoons \mathrm{Ag(NH_3)}^+,\qquad K_1=K_{f1},\\\ &\mathrm{Ag(NH_3)}^+ + \mathrm{NH}_3 \rightleftharpoons \mathrm{Ag(NH_3)_2}^+,\qquad K_2=K_{f2}. \end{aligned}
  • A constante de formação global para o complexo \mathrm{Ag(NH_3)_2}^+ é K_f=K_1K_2.
  • Vamos escrever o balanço de prata na solução e relacionar [\mathrm{Ag}^+] com a concentração livre [\mathrm{NH}_3]. Para dissolver todo o AgCl precisamos que a [\mathrm{Ag}^+] livre seja tal que [\mathrm{Ag}^+]=\dfrac{K_{sp\,\mathrm{AgCl}}}{[\mathrm{Cl}^-]}, onde [\mathrm{Cl}^-] é a concentração de Cl^- proveniente do AgCl dissolvido.

Passo 3

Modelagem matemática do complexo e do balanço de prata:
  • Denotamos x=[\mathrm{NH}_3] (concentração livre de amônia que queremos determinar).
  • Com K_1 e K_2 temos as relações de equilíbrio: \begin{aligned} &[\mathrm{Ag(NH_3)}^+]=K_1\,[\mathrm{Ag}^+]\,[\mathrm{NH}_3]=K_1\,[\mathrm{Ag}^+]\;x,\\\ &[\mathrm{Ag(NH_3)_2}^+]=K_1K_2\,[\mathrm{Ag}^+]\,[\mathrm{NH}_3]^2=K_1K_2\,[\mathrm{Ag}^+]\;x^2. \end{aligned}
  • Balanço total de prata dissolvida (se só o AgCl for completamente dissolvido, a prata total em solução vem desse sal): [\mathrm{Ag}]_{T}=[\mathrm{Ag}^+]+[\mathrm{Ag(NH_3)}^+]+[\mathrm{Ag(NH_3)_2}^+] =[\mathrm{Ag}^+]\left(1+K_1 x + K_1K_2 x^2\right).
  • Assim, [\mathrm{Ag}^+]=\frac{[\mathrm{Ag}]_{T}}{1+K_1 x + K_1K_2 x^2}.

Passo 4

Calcular [\mathrm{Ag}]_{T} quando todo o AgCl estiver dissolvido:
  • Moles de AgCl dissolvidos: n_{\mathrm{AgCl}}=\frac{2{,}00}{142{,}5}=0{,}014035\\ \text{mol}.
  • Concentração total de prata (pois 1 mol AgCl dá 1 mol Ag ^+): [\mathrm{Ag}]_{T}=\frac{0{,}014035}{0{,}200}=0{,}070175\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 5

Condição para dissolver todo o AgCl (condição de saturação mínima):
  • Se todo AgCl está dissolvido, [\mathrm{Cl}^-]=[\mathrm{Ag}]_{T}.
  • Para que o sólido remanescente (ou a condição de equilíbrio) permita essa dissolução mínima, a [\mathrm{Ag}^+] livre deve satisfazer [\mathrm{Ag}^+]=\frac{K_{sp\,\mathrm{AgCl}}}{[\mathrm{Cl}^-]}=\frac{K_{sp\,\mathrm{AgCl}}}{[\mathrm{Ag}]_{T}}.
  • Igualando essa expressão com a expressão do passo 3: \frac{[\mathrm{Ag}]_{T}}{1+K_1 x + K_1K_2 x^2}=\frac{K_{sp\,\mathrm{AgCl}}}{[\mathrm{Ag}]_{T}}.
  • Reorganizando: 1+K_1 x + K_1K_2 x^2=\frac{[\mathrm{Ag}]_{T}^2}{K_{sp\,\mathrm{AgCl}}}.

Passo 6

Substituir números e obter a equação em x:
  • Primeiro cálculo do lado direito: \frac{[\mathrm{Ag}]_{T}^2}{K_{sp\,\mathrm{AgCl}}} =\frac{(0{,}070175)^2}{1{,}8\times10^{-10}} \approx 2{,}73648\times10^{7}.
  • Com K_1=2{,}0\times10^{3} e K_1K_2=1{,}58\times10^{7}, a equação fica: 1 + 2{,}0\times10^{3}\,x + 1{,}58\times10^{7}\,x^2 = 2{,}73648\times10^{7}.
  • Colocando na forma quadrática a x^2 + b x + c = 0: 1{,}58\times10^{7}\,x^2 + 2{,}0\times10^{3}\,x + (1-2{,}73648\times10^{7})=0.

Passo 7

Resolver a quadrática numericamente (detalhando cálculo do discriminante):
  • Coeficientes: a=1{,}58\times10^{7},\quad b=2{,}0\times10^{3},\quad c=1-2{,}73648\times10^{7}\approx -2{,}73648\times10^{7}.
  • Discriminante: \Delta=b^2-4ac\approx (2{,}0\times10^{3})^2 -4(1{,}58\times10^{7})(-2{,}73648\times10^{7}) \approx 1{,}7288\times10^{15}.
  • Raiz do discriminante: \sqrt{\Delta}\approx 4{,}1583\times10^{7}.
  • Raiz positiva (relevante fisicamente): x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \approx\frac{-2{,}0\times10^{3}+4{,}1583\times10^{7}}{2\cdot1{,}58\times10^{7}} \approx 1{,}316.
  • Arredondando em termos práticos: x\approx 1{,}32\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} é a concentração mínima de \mathrm{NH}_3 livre necessária.

Passo 8

Determinar quanto de AgBr se dissolve com essa [\mathrm{NH}_3] (parte b):
  • Primeiro, calcular [\mathrm{Ag}^+] sob essas condições (usamos a condição de saturação de AgCl): [\mathrm{Ag}^+]=\frac{K_{sp\,\mathrm{AgCl}}}{[\mathrm{Cl}^-]} =\frac{1{,}8\times10^{-10}}{0{,}070175}\approx 2{,}5649\times10^{-9}\\ \mathrm{M}.
  • Para AgBr em equilíbrio com o sólido, vale K_{sp\,\mathrm{AgBr}}=[\mathrm{Ag}^+][\mathrm{Br}^-]. Então a concentração de [\mathrm{Br}^-] dissolvida é [\mathrm{Br}^-]=\frac{K_{sp\,\mathrm{AgBr}}}{[\mathrm{Ag}^+]} =\frac{5{,}3\times10^{-13}}{2{,}5649\times10^{-9}} \approx 2{,}0656\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
  • Moles de Br^- (ou de AgBr) dissolvidos em 0{,}200\\ \mathrm{L}: n_{\mathrm{AgBr,\,diss}}=[\mathrm{Br}^-]\cdot V \approx 2{,}0656\times10^{-4}\times0{,}200 =4{,}131\times10^{-5}\\ \text{mol}.
  • Moles iniciais de AgBr totais: n_{\mathrm{AgBr,\,ini}}=\frac{1{,}00}{187{,}8}=0{,}005324\\ \text{mol}.
  • Fração dissolvida: \text{fracão}=\frac{n_{\mathrm{AgBr,\,diss}}}{n_{\mathrm{AgBr,\,ini}}} \approx\frac{4{,}131\times10^{-5}}{0{,}005324}\approx 7{,}758\times10^{-3}.ã
  • Convertendo para percentual: \%\\ \mathrm{dissolvido}\approx 0{,}7758\%\approx 0{,}78\%.

Resposta

(a) 1,32\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}
(b) 0,78\%

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