Admitindo um relôgio de pêndulo que consiste no movimento dos ponteiros serem sincronizados à partir do movimento de um pêndulo simples. Responda:
(a) Se esse relógio estiver no equador da terra, e for levado a um dos trópicos, ele irá atrasar ou adiantar?
(a) Se esse relógio estiver no equador da terra, e for levado a um dos trópicos, ele irá atrasar ou adiantar?
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se um relógio cujo mecanismo é sincronizado por um pêndulo simples, quando movido do equador da Terra para um dos trópicos, irá atrasar ou adiantar em relação ao tempo que marcava no equador.
Informações dadas/implicadas pelo enunciado:
- O tempo do relógio depende do período do pêndulo simples que o regula.
- O pêndulo está sendo levado do equador para um dos trópicos (isto é, de latitude
para ). - Não foram dados valores numéricos do pêndulo (comprimento etc.), portanto a resposta deve usar relações gerais entre período e aceleração da gravidade local.
Passo 2
Fórmula do período do pêndulo simples e o que cada variável significa.
A expressão básica para o período do pêndulo simples (amplitude pequena) é
onde:
-
é o período (tempo de um vai-e-vem completo); -
é o comprimento do fio do pêndulo (constante do relógio); -
é a aceleração da gravidade efetiva no local onde o pêndulo está.
Interpretação prática importante:
- Se
aumenta, o denominador dentro da raiz aumenta, então diminui e, portanto, diminui (cada batida do pêndulo fica mais rápida). - Se
diminui, aumenta (cada batida fica mais lenta).
Um relógio regulado por pêndulo marca o tempo contando oscilações. Se o período
diminui, o relógio faz mais oscilações por unidade de tempo e, portanto, adiantará; se
aumenta, o relógio fará menos oscilações por unidade de tempo e atrasará.
Passo 3
Explicar por que
muda com a latitude (ideia física, sem jargões).
Dois efeitos principais fazem
depender da latitude
:
- A força centrífuga devido à rotação da Terra reduz a aceleração efetiva para quem está na superfície. A magnitude da aceleração centrífuga é maior no equador e menor em latitudes maiores.
- A própria gravidade “pura” (devido à massa da Terra) também varia um pouco com latitude porque a Terra é achatada nos polos; em latitudes maiores a superfície está um pouco mais próxima do centro e isso aumenta ligeiramente a gravidade. Esses dois efeitos somam-se no mesmo sentido:
cresce ao nos afastarmos do equador em direção aos polos.
Aqui usaremos explicitamente o efeito centrífugo para mostrar o sinal da variação e dar uma estimativa numérica simples.
Passo 4
Fórmula da aceleração centrífuga e expressão de
.
A aceleração centrífuga (módulo) para um ponto da superfície a latitude
vale
onde:
-
é a velocidade angular de rotação da Terra (em ); -
é o raio médio da Terra; -
aparece porque a distância ao eixo de rotação é .
A componente radial (oposta à gravidade) dessa aceleração — a que efetivamente reduz a gravidade sentida na direção vertical local — é essa magnitude multiplicada por mais um
(projeção radial). Assim, a componente que reduz
é
Portanto, uma boa aproximação para a aceleração da gravidade efetiva na superfície é
onde
é a gravidade devido à massa da Terra (sem rotação). Note que, em termos de sinal, o termo centrífugo subtrai de
.
Comparando equador (
) e um trópico (
):
Assim, ao ir do equador para latitude
a parte centrífuga que reduz
diminui, logo
aumenta. Em palavras: no equador a redução de
pela rotação é máxima; ao subir para os trópicos essa redução fica menor, então a gravidade efetiva aumenta.
Passo 5
Estimativa numérica do efeito (para ter ideia da ordem de grandeza).
Valores aproximados:
Calcular
:
Esse é o valor da aceleração centrífuga radial no equador.
Em latitude
(trópico),
, logo
A diferença na componente centrífuga (equador menos trópico) é
Portanto
em um trópico é maior que no equador por cerca de
(soma-se ainda o pequeno efeito devido à forma da Terra, que vai no mesmo sentido).
Fração da variação de
:
Como
, a variação fracionária do período é
Sinal negativo: o período diminui.
Convertendo isso em ganho de tempo aproximado por dia (um dia tem
):
Interpretação: o relógio pode adiantar da ordem de algumas dezenas de segundos por dia apenas por causa dessa mudança de latitude (essa é uma estimativa grosseira que mostra a ordem de grandeza; na prática outros fatores como temperatura, atrito, ajustes do escapamento etc. também influenciam).
Passo 6
Conclusão lógica e linguagem simples.
- Ir do equador para um trópico faz com que a redução de
causada pela rotação seja menor, ou seja, o valor efetivo de aumenta. - Um aumento de
torna o período do pêndulo menor (o pêndulo oscila mais rápido). - Um pêndulo que oscila mais rápido faz o relógio contar mais “batidas” por unidade de tempo, logo o relógio adiantará.
(Resumo em palavras: no trópico o pêndulo bate mais rápido do que no equador, então o relógio adianta.)
Resposta
Adiantará.