Admitindo um relôgio de pêndulo que consiste no movimento dos ponteiros serem sincronizados à partir do movimento de um pêndulo simples. Responda:
(a) Se esse relógio estiver no equador da terra, e for levado a um dos trópicos, ele irá atrasar ou adiantar?

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se um relógio cujo mecanismo é sincronizado por um pêndulo simples, quando movido do equador da Terra para um dos trópicos, irá atrasar ou adiantar em relação ao tempo que marcava no equador.
Informações dadas/implicadas pelo enunciado:
  • O tempo do relógio depende do período do pêndulo simples que o regula.
  • O pêndulo está sendo levado do equador para um dos trópicos (isto é, de latitude \varphi=0^\circ para \varphi\approx23{,}5^\circ).
  • Não foram dados valores numéricos do pêndulo (comprimento etc.), portanto a resposta deve usar relações gerais entre período e aceleração da gravidade local.

Passo 2

Fórmula do período do pêndulo simples e o que cada variável significa.
A expressão básica para o período do pêndulo simples (amplitude pequena) é
T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g_{\text{local}}}},
onde:
  • T é o período (tempo de um vai-e-vem completo);
  • L é o comprimento do fio do pêndulo (constante do relógio);
  • g_{\text{local}} é a aceleração da gravidade efetiva no local onde o pêndulo está.
Interpretação prática importante:
  • Se g_{\text{local}} aumenta, o denominador dentro da raiz aumenta, então \sqrt{L/g_{\text{local}}} diminui e, portanto, T diminui (cada batida do pêndulo fica mais rápida).
  • Se g_{\text{local}} diminui, T aumenta (cada batida fica mais lenta).
Um relógio regulado por pêndulo marca o tempo contando oscilações. Se o período T diminui, o relógio faz mais oscilações por unidade de tempo e, portanto, adiantará; se T aumenta, o relógio fará menos oscilações por unidade de tempo e atrasará.

Passo 3

Explicar por que g_{\text{local}} muda com a latitude (ideia física, sem jargões).
Dois efeitos principais fazem g_{\text{local}} depender da latitude \varphi:
  1. A força centrífuga devido à rotação da Terra reduz a aceleração efetiva para quem está na superfície. A magnitude da aceleração centrífuga é maior no equador e menor em latitudes maiores.
  2. A própria gravidade “pura” (devido à massa da Terra) também varia um pouco com latitude porque a Terra é achatada nos polos; em latitudes maiores a superfície está um pouco mais próxima do centro e isso aumenta ligeiramente a gravidade. Esses dois efeitos somam-se no mesmo sentido: g_{\text{local}} cresce ao nos afastarmos do equador em direção aos polos.
Aqui usaremos explicitamente o efeito centrífugo para mostrar o sinal da variação e dar uma estimativa numérica simples.

Passo 4

Fórmula da aceleração centrífuga e expressão de g_{\text{local}}.
A aceleração centrífuga (módulo) para um ponto da superfície a latitude \varphi vale
a_{\text{cf}}(\varphi) = \omega^2 R\cos\varphi,
onde:
  • \omega é a velocidade angular de rotação da Terra (em \text{s}^{-1});
  • R é o raio médio da Terra;
  • \cos\varphi aparece porque a distância ao eixo de rotação é R\cos\varphi.
A componente radial (oposta à gravidade) dessa aceleração — a que efetivamente reduz a gravidade sentida na direção vertical local — é essa magnitude multiplicada por mais um \cos\varphi (projeção radial). Assim, a componente que reduz g é
a_{\text{cf,radial}}(\varphi) = \omega^2 R\cos^2\varphi.
Portanto, uma boa aproximação para a aceleração da gravidade efetiva na superfície é
g_{\text{local}}(\varphi) \approx g_{\text{grav}} - \omega^2 R\cos^2\varphi,
onde g_{\text{grav}} é a gravidade devido à massa da Terra (sem rotação). Note que, em termos de sinal, o termo centrífugo subtrai de g_{\text{grav}}.
Comparando equador ( \varphi=0^\circ) e um trópico ( \varphi\approx23{,}5^\circ):
a_{\text{cf,radial}}(0^\circ)=\omega^2 R\cos^2 0^\circ=\omega^2 R,
a_{\text{cf,radial}}(\varphi)=\omega^2 R\cos^2\varphi.
Assim, ao ir do equador para latitude \varphi a parte centrífuga que reduz g diminui, logo g_{\text{local}} aumenta. Em palavras: no equador a redução de g pela rotação é máxima; ao subir para os trópicos essa redução fica menor, então a gravidade efetiva aumenta.

Passo 5

Estimativa numérica do efeito (para ter ideia da ordem de grandeza).
Valores aproximados:
\omega \approx 7{,}2921\times10^{-5}\\ \text{s}^{-1}, \qquad R \approx 6{,}371\times10^{6}\\ \text{m}, \qquad g\approx 9{,}78\\ \text{m/s}^2\\ (\text{ordem de grandeza na superfície}).í
Calcular \omega^2 R:
\omega^2 = (7{,}2921\times10^{-5})^2 \approx 5{,}317\times10^{-9}\\ \text{s}^{-2},
\omega^2 R \approx 5{,}317\times10^{-9}\cdot 6{,}371\times10^{6} \approx 0{,}0339\\ \text{m/s}^2.
Esse é o valor da aceleração centrífuga radial no equador.
Em latitude \varphi=23{,}5^\circ (trópico), \cos 23{,}5^\circ\approx 0{,}917, logo
a_{\text{cf,radial}}(23{,}5^\circ)\approx 0{,}0339\cdot(0{,}917)^2 \approx 0{,}0285\\ \text{m/s}^2.
A diferença na componente centrífuga (equador menos trópico) é
\Delta a_{\text{cf}} \approx 0{,}0339 - 0{,}0285 = 0{,}0054\\ \text{m/s}^2.
Portanto g_{\text{local}} em um trópico é maior que no equador por cerca de \Delta g\approx 0{,}0054\\ \text{m/s}^2 (soma-se ainda o pequeno efeito devido à forma da Terra, que vai no mesmo sentido).
Fração da variação de g:
\frac{\Delta g}{g}\approx \frac{0{,}0054}{9{,}78}\approx 5{,}5\times10^{-4}.
Como T\propto g^{-1/2}, a variação fracionária do período é
\frac{\Delta T}{T}\approx -\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}\approx -\frac{1}{2}\cdot 5{,}5\times10^{-4}\approx -2{,}75\times10^{-4}.
Sinal negativo: o período diminui.
Convertendo isso em ganho de tempo aproximado por dia (um dia tem 86400\\ \text{s}):
\text{ganho por dia}\approx 86400\cdot 2{,}75\times10^{-4} \approx 23{,}8\\ \text{s/dia}.
Interpretação: o relógio pode adiantar da ordem de algumas dezenas de segundos por dia apenas por causa dessa mudança de latitude (essa é uma estimativa grosseira que mostra a ordem de grandeza; na prática outros fatores como temperatura, atrito, ajustes do escapamento etc. também influenciam).

Passo 6

Conclusão lógica e linguagem simples.
  • Ir do equador para um trópico faz com que a redução de g causada pela rotação seja menor, ou seja, o valor efetivo de g aumenta.
  • Um aumento de g_{\text{local}} torna o período T do pêndulo menor (o pêndulo oscila mais rápido).
  • Um pêndulo que oscila mais rápido faz o relógio contar mais “batidas” por unidade de tempo, logo o relógio adiantará.
(Resumo em palavras: no trópico o pêndulo bate mais rápido do que no equador, então o relógio adianta.)

Resposta

Adiantará.

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