Plote o gráfico da posição e velocidade em função do tempo da função horária abaixo
x(t)=3 \operatorname{sen}\left(2.5 t-\frac{3 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função horária da posição em função do tempo:
x(t)=3\sin\!\left(2{,}5\,t-\frac{3\pi}{4}\right).
O que se pede: traçar o gráfico de x(t) e também o gráfico da velocidade v(t) em função do tempo. Informações relevantes que temos (pegas do enunciado):
  • Amplitude (posição): A_x=3.
  • Frequência angular: \omega=2{,}5 (rad/s).
  • Fase inicial: \varphi=-\dfrac{3\pi}{4}.
Vou traçar os gráficos para um intervalo de tempo típico (uma ou duas épocas) e mostrar pontos-chave para fazer o esboço à mão ou com software.

Passo 2

Encontrar a expressão da velocidade. Regra usada (aula rápida): a derivada temporal de \sin é um \cos multiplicado pela frequência angular. Se
x(t)=A\sin(\omega t+\varphi),
então
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega t+\varphi).
Aqui A=3, \omega=2{,}5 e \varphi=-\dfrac{3\pi}{4}. Logo
v(t)=3\cdot 2{,}5\cos\!\left(2{,}5\,t-\frac{3\pi}{4}\right)=7{,}5\cos\!\left(2{,}5\,t-\frac{3\pi}{4}\right).
Explicando as variáveis:
  • t é o tempo (s).
  • A é a amplitude da posição (m, se unidades forem metros).
  • \omega é a frequência angular (rad/s).
  • \varphi é a fase inicial (rad).

Passo 3

Período e frequência (útil para o eixo horizontal do gráfico). Fórmula:
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=2{,}5:
T=\frac{2\pi}{2{,}5}=\frac{4\pi}{5}\approx 2{,}513\\ \text{s}.
A meia-época (meio período) é T/2\approx1{,}257\\ \text{s}. Um quarto de período é T/4\approx0{,}628\\ \text{s}.

Passo 4

Valor inicial e interpretação da fase (importante para posicionar o início do traço):
Calcular x(0) e v(0).
x(0)=3\sin\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx-2{,}121.
v(0)=7{,}5\cos\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=7{,}5\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{15\sqrt{2}}{4}\approx-5{,}303.
Comentário intuitivo: em t=0 a posição é negativa (cerca de -2{,}12) e a velocidade também é negativa (cerca de -5{,}30), então a partícula está à esquerda do ponto de equilíbrio e continuando a se deslocar para a esquerda naquele instante.

Passo 5

Pontos-chave em uma época para desenhar o seno e o cosseno (muito útil para o esboço). Para posicionar pontos usamos o argumento \theta(t)=2{,}5\,t-\tfrac{3\pi}{4}. Vou escolher os ângulos \theta=-\tfrac{3\pi}{4},-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{4},0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{4},\pi e calcular t, x(t) e v(t).
Fórmula inversa: t=(\theta+\tfrac{3\pi}{4})/2{,}5. Os valores (aproximados) são:
  • \theta=-\tfrac{3\pi}{4}\Rightarrow t=0. \;x=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx-2{,}121. \;v\approx-5{,}303.
  • \theta=-\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow t\approx0{,}314. \;x=-3. \;v=0.
  • \theta=-\tfrac{\pi}{4}\Rightarrow t\approx0{,}628. \;x\approx-2{,}121. \;v\approx5{,}303.
  • \theta=0\Rightarrow t\approx0{,}942. \;x=0. \;v\approx7{,}5.
  • \theta=\tfrac{\pi}{4}\Rightarrow t\approx1{,}257. \;x\approx2{,}121. \;v\approx5{,}303.
  • \theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow t\approx1{,}571. \;x=3. \;v=0.
  • \theta=\tfrac{3\pi}{4}\Rightarrow t\approx1{,}885. \;x\approx2{,}121. \;v\approx-5{,}303.
  • \theta=\pi\Rightarrow t\approx2{,}199. \;x=0. \;v\approx-7{,}5.
Observações sobre esses pontos:
  • Nos tempos onde v(t)=0 (ex.: t\approx0{,}314 e t\approx1{,}571), x(t) atinge extremos ( x=-3 ou x=3).
  • Onde x(t)=0 (ex.: t\approx0{,}942 e t\approx2{,}199), v(t) tem valor máximo ou mínimo ( \pm 7{,}5).

Passo 6

Relação de fase entre posição e velocidade (aula curta e útil para o traço):
  • Como v(t)\propto\cos(\omega t+\varphi) e x(t)\propto\sin(\omega t+\varphi), a velocidade está defasada de \tfrac{\pi}{2} em relação à posição: o cosseno “antecede” o seno por \tfrac{\pi}{2}. Em termos práticos, v(t) alcança seu máximo exatamente quando x(t) cruza pelo zero em sentido positivo. Isso explica por que os picos de v coincidem com as passagens de x por zero.

Passo 7

Como desenhar os gráficos (passo-a-passo prático para prova ou esboço à mão):
  1. Escolha o intervalo de tempo: por exemplo t\in[0,2T] (duas épocas) ou t\in[0,T] para uma época. Aqui T\approx2{,}513\\ \text{s}.
  2. No eixo vertical do gráfico de x(t) marque de -3 a +3 (amplitude) com subdivisões para \pm 2{,}121 (valores \pm \tfrac{3\sqrt{2}}{2}).
  3. No eixo vertical do gráfico de v(t) marque de -7{,}5 a +7{,}5.
  4. No eixo do tempo marque os instantes calculados (por exemplo t=0,\;0{,}314,\;0{,}628,\;0{,}942,\;1{,}257,\;1{,}571,\;1{,}885,\;2{,}199). Esses pontos permitem esboçar a forma correta do seno e do cosseno.
  5. Plote os pontos (t,x(t)) e ligue-os suavemente com uma curva senoidal para obter x(t).
  6. Plote os pontos (t,v(t)) (nota: v tem amplitude maior) e ligue-os com uma curva cosenoidal. Lembre-se que v atinge máximo quando x corta zero com inclinação positiva.
  7. Se usar software (Python/matplotlib, Desmos, GeoGebra): insira as funções x(t) e v(t) e ajuste o eixo de tempo para 0 até 2{,}5 s (ou até 5 s) para ver duas épocas.

Passo 8

Tabela resumo (prática para plotar imediatamente — valores arredondados):
\begin{array}{c|c|c} t\\ (\text{s}) & x(t) & v(t)\\hline 0{,}000 & -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx-2{,}121 & \approx-5{,}303\\\\ 0{,}314 & -3 & 0\\\\ 0{,}628 & -2{,}121 & \approx5{,}303\\\\ 0{,}942 & 0 & 7{,}5\\\\ 1{,}257 & 2{,}121 & \approx5{,}303\\\\ 1{,}571 & 3 & 0\\\\ 1{,}885 & 2{,}121 & \approx-5{,}303\\\\ 2{,}199 & 0 & -7{,}5 \end{array}
Use essa tabela para posicionar pontos e desenhar as curvas.

Resposta

x(t)=3\sin\!\left(2{,}5\,t-\dfrac{3\pi}{4}\right)
v(t)=7{,}5\cos\!\left(2{,}5\,t-\dfrac{3\pi}{4}\right)
Amplitude de x: 3. Amplitude de v: 7{,}5. Período: T=\dfrac{4\pi}{5}\approx2{,}513\\ \text{s}.

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