Plote o gráfico da posição e velocidade em função do tempo da função horária abaixo
Passo 1
O enunciado dá a função horária da posição em função do tempo:
O que se pede: traçar o gráfico de
e também o gráfico da velocidade
em função do tempo. Informações relevantes que temos (pegas do enunciado):
- Amplitude (posição):
. - Frequência angular:
(rad/s). - Fase inicial:
.
Vou traçar os gráficos para um intervalo de tempo típico (uma ou duas épocas) e mostrar pontos-chave para fazer o esboço à mão ou com software.
Passo 2
Encontrar a expressão da velocidade. Regra usada (aula rápida): a derivada temporal de
é um
multiplicado pela frequência angular. Se
então
Aqui
,
e
. Logo
Explicando as variáveis:
-
é o tempo (s). -
é a amplitude da posição (m, se unidades forem metros). -
é a frequência angular (rad/s). -
é a fase inicial (rad).
Passo 3
Período e frequência (útil para o eixo horizontal do gráfico). Fórmula:
Substituindo
:
A meia-época (meio período) é
. Um quarto de período é
.
Passo 4
Valor inicial e interpretação da fase (importante para posicionar o início do traço):
Calcular e
.
Calcular
Comentário intuitivo: em
a posição é negativa (cerca de
) e a velocidade também é negativa (cerca de
), então a partícula está à esquerda do ponto de equilíbrio e continuando a se deslocar para a esquerda naquele instante.
Passo 5
Pontos-chave em uma época para desenhar o seno e o cosseno (muito útil para o esboço). Para posicionar pontos usamos o argumento
. Vou escolher os ângulos
e calcular
,
e
.
Fórmula inversa:
. Os valores (aproximados) são:
-
. . -
. . -
. . -
. . -
. . -
. . -
. . -
. .
Observações sobre esses pontos:
- Nos tempos onde
(ex.: e ), atinge extremos ( ou ). - Onde
(ex.: e ), tem valor máximo ou mínimo ( ).
Passo 6
Relação de fase entre posição e velocidade (aula curta e útil para o traço):
- Como
e , a velocidade está defasada de em relação à posição: o cosseno “antecede” o seno por . Em termos práticos, alcança seu máximo exatamente quando cruza pelo zero em sentido positivo. Isso explica por que os picos de coincidem com as passagens de por zero.
Passo 7
Como desenhar os gráficos (passo-a-passo prático para prova ou esboço à mão):
- Escolha o intervalo de tempo: por exemplo
(duas épocas) ou para uma época. Aqui . - No eixo vertical do gráfico de
marque de a (amplitude) com subdivisões para (valores ). - No eixo vertical do gráfico de
marque de a . - No eixo do tempo marque os instantes calculados (por exemplo
). Esses pontos permitem esboçar a forma correta do seno e do cosseno. - Plote os pontos
e ligue-os suavemente com uma curva senoidal para obter . - Plote os pontos
(nota: tem amplitude maior) e ligue-os com uma curva cosenoidal. Lembre-se que atinge máximo quando corta zero com inclinação positiva. - Se usar software (Python/matplotlib, Desmos, GeoGebra): insira as funções
e e ajuste o eixo de tempo para até s (ou até s) para ver duas épocas.
Passo 8
Tabela resumo (prática para plotar imediatamente — valores arredondados):
Use essa tabela para posicionar pontos e desenhar as curvas.
Resposta
Amplitude de